dynamical_systems_2

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1、NonlinearDynamicalSystems2——Bifurcation结构稳定性定义:如果控制参数λ发生一微小变化,动力方程的奇异点数目及其稳定性不发生变化,则该动力系统是结构稳定的;否则是结构不稳定的.这样定义的稳定性称为结构稳定性.弹性压杆的分岔引言分岔概念Bifurcation分岔是一种普遍的自然现象。力学上指一种力学状态在临界点发生的转变、分开或一分为二。如：一根受力的弹性压杆当压力超过压杆的临界负荷时，会出现弯曲。许多重要物理现象数学上可以某类微分方程来描述。数学上分岔研究非线性

2、微分方程当某一参数变化时其解发生突变的临界点附近的行为。弹性压杆的分岔引言分岔概念Bifurcation在P—s平面上当PPc时有三种平衡状态：保持直线(OC方向)、偏向+s或-s方向,不同平衡状态的分岔点为Pc。这时保持直线是不稳定的，稍有扰动平衡状态便会偏向+s或-s。两种偏向+s或-s状态是稳定的。BifurcationsWedistinguishtwoprincipalclassesofbifurcations:Globalbifurcationo

3、ccurswhenlargerinvariantsetsofthesystem'collide'witheachother,orwithequilibriaofthesystem.Theycannotbedetectedpurelybyastabilityanalysisoftheequilibria(fixedpoints).Theglobalbifurcationincludes,forexample,collisionofalimitcyclewithasaddlepoint,collisio

4、nofalimitcyclewithanodeetc.Localbifurcationisasuddenchangeinthenumberornatureofthefixedandperiodicpointscausedbyaparameterchangeinthesystem.Fixedpointsmayappearordisappear,changetheirstability,orevenbreakapartintoperiodicpoints.Suchbifurcationcanbeanal

5、ysedentirelythroughchangesinthelocalstabilitypropertiesofequilibria,periodicorbitsorotherinvariantsets.Basictypesoflocalbifurcations1切分岔Tangentbirurcation2转换键型分岔Transcriticalbirurcation3叉式分岔Pitchforkbifurcation4霍夫型分岔Hopfbifurcation5倍周期分岔Perioddoubling(

6、flip)bifurcation1.切分岔Tangentbifurcation数学模型方程：由得平衡点(a)当μ＜0时,解x0为虚数，因此不存在奇点，(b)当μ＞0时出现两个奇点,表明上述方程的解在x0=0处发生了分裂。1.切分岔Tangentbifurcationμ＞0时两个奇点的稳定性TheJacobianmatrixFixedpointsDifferentialequationsLinearizedJacobianmatrixforxA~EigenvaluesforthisJacobianma

7、trixConclusion:thefixedpointxA~isasaddlepointsincetherearerealeigenvaluesofvarioussigns.LinearizedJacobianmatrixforxB~EigenvaluesforthisJacobianmatrixConclusion:thefixedpointxB~isanattractingnodesincetherearerealeigenvalues,bothofnegativesigns.Thenameo

8、fthisbifurcationisderivedfromthepairofthesetwotypesoffixedpoints–saddleandnode.切分岔是一个鞍–结分岔(Saddlenodebifurcation)相流形状phaseflow1.切分岔Tangentbifurcation2转换键型分岔（Transcriticalbifurcation）利用方程：解在分岔点(x0,μ)＝(0,0)处发生转折，故称转换键型分岔解的稳定性stability采用与分