斜线与平面所成角求法

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1、http://www.mathschina.com彰显数学魅力！演绎网站传奇！斜线与平面所成角的求法求解斜线斜线与平面所成的角，常用的方法有三种，下面举例说明之．一、定义法：利用定义求斜线与平面所成角的解题步骤是：⑴．作图：作（或找）出斜线在平面额内的射影，将空间角（斜线与平面所成的角）转化为平面角（两条相交直线所成的锐角），作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再连结垂足与斜足，从而作出线面角；作垂线时往往利用用面面垂直性质定理来实现．⑵．证明：即证明所作的角就是斜线与平面所成的角，这一步常常与第一步融为一体；⑶．计算：角的计算，一般是把已知条件归结到同一个三角形中

2、，或归结到几个相关的三角形中，从而把空间的计算转化为平面图形内解直角三角形或斜三角形的问题．例1．如图1所示，在四面体中，，是棱中点，连结，求和平面所成角的正弦值．图1分析：根据图形特征，取中点，连结、，可证明平面平面，故过点在平面内作，找到线面角．解：取中点，∵，，∴又，∴，∵，∴平面平面．过点在平面内作于，由面面垂直性质定理知：，连结，则是和平面所成角．令，在中，，在中，，∴．根据面积关系：，∴；学数学用专页第3页共3页版权所有少智报·数学专页http://www.mathschina.com彰显数学魅力！演绎网站传奇！∴在中，．点评：利用面面垂直性质作垂线的

3、关键是过斜线上某一点或斜线作已知平面的垂面，某一点一般选取在斜线段的中点、端点、等分点；本题就是过斜线来作已知平面的垂面的．一、公式法：利用公式来间接的求见线面角，运用公式的关键是弄清哪个是线面角，哪个是异面直线所成的角，并找准、、．例1．如图2所示，，为平面外一点，，求与平面所成的角．图2分析：根据题意已知的射影在的平分线上，又知，故运用公式计算较简单．解：过作，则在的平分线上，即为所求的角．∴；由公式知：得，∴，又，∴．所以与平面所成的角为．点评：利用公式计算，可省去在平面上射影的确切位置的确定，减少了思维量，降低了难度．三：坐标法设平面的斜线的方向向量为，平

4、面的法向量为，与的夹角为，则（或）的余角即为与所成的角，而则可利用公式求得．例2．如图3所示，在长方体中，，在线段上，，在线段上，且．求直线与平面学数学用专页第3页共3页版权所有少智报·数学专页http://www.mathschina.com彰显数学魅力！演绎网站传奇！所成角的大小．图3分析：若运用定义法求解，作角非常困难；可引入坐标，运用坐标法求解．解：建立如图3所示的直角坐标系，则，∴．∵，，∴是平面的法向量．∴，故直线与平面所成角的大小为，即．点评：线面角取向量的夹角还是的余角，取决于是锐角还是钝角；若是锐角，则取的余角，若是钝角，则取的余角．学数学用专页

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