分段函数的几种常见题型及解法

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1、复习教案：分段函数的几种常见题型及解法数学组10分段函数的几种常见题型及解法【关键词】分段函数;定义域;值域或最值;函数值;解析式;图像;反函数;奇偶性;方程;不等式.分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数.它是一类表达形式特殊的函数,是中学数学中的一种重要函数模型。分段函数有关问题蕴含着分类讨论、数形结合等思想方法.它是一个函数,却又常常被学生误认为是几个函数;它的定义域是各段函数定义域的并集,其值域也是各段函数值域的并集.由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用,时常在高考试题中

2、“闪亮”登场,对于分段函数类型的求解不少同学感到困难较多，笔者就几种具体的题型做了一些思考,解析如下：1．求分段函数的定义域和值域分段函数的定义域为每一段函数定义域的并集,在表示每一段函数中x的取值范围时,要确保做到定义域不重不漏,即交集为空集,并集为整个定义域.值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。例1求函数的定义域和值域例1．求函数的定义域、值域.【解析】作图,利用“数形结合”易知的定义域为,值域为.例5．求函数的值域。　　解：因为当x≥0时，x2+1≥1；当x<0时，-x2<0。10　　所以，原函数的值域是[1,+∞)∪(-∞,

3、0)。　　注：分段函数的值域求解，只要分别求出各部分的值域，再取其并集即可。1．求分段函数的函数值在求分段函数的值时，一定首先要判断属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式例1、（辽宁理）设则__________2、（2006山东）设则A.0B.1C.2D.33、已知，若记为的反函数，且则.4、设则(）A.B.C.D.5、已知则的值为.4．（05年浙江理）已知函数求.【解析】因为,所以.10　　例1已知函数　　求f{f[f(a)]}(a<0)的值。　　分析　求此函数值关键是由内到外逐一求值，即由　　a<0,f(a)=2a，又0<2a<1,,　　,　

4、　所以，。　　注：求分段函数值的关键是根据自变量的取值代入相应的函数段．3．求分段函数的最值例3．求函数的最大值.【解析】当时,,当时,,当时,,综上有.例4．设a为实数，函数f(x)=x2+

5、x-a

6、+1,x∈R,　求f(x)的最小值。　　分析：因为原函数可化为　　10　　所以，只要分别求出其最小值，再取两者较小者即可。　　解：当x

7、函数；　　若，则函数f(x)在[a,+∞)上的最小值为，且。　　若，则函数f(x)在[a,+∞)上的最小值为f(a)=a2+1。　　综上，当时，函数f(x)的最小值是；　　当时，函数f(x)的最小值是a2+1；　　当时，函数f(x)的最小值是。(2005上海高考题)对定义域分别是的函数.规定：10函数（I）若函数，写出函数的解析式；（II）求问题（I）中函数的最大值；　　注：分段函数的最值求解的方法是先分别求出各段函数的最值，再进行大小比较，从而达到求解的目的。4．求分段函数的解析式例4．在同一平面直角坐标系中,函数和的图象关于直线对称,现将的图象沿

8、轴向左平移2个单位,再沿轴向上平移1个单位,所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）,则函数的表达式为（）【解析】当时,,将其图象沿轴向右平移2个单位,再沿轴向下平移1个单位,得解析式为,所以,当时,,将其图象沿10轴向右平移2个单位,再沿轴向下平移1个单位,得解析式,所以,综上可得,故选A.5．作分段函数的图像例5．函数的图像大致是（）　例9．已知函数f(x)=

9、x2-2x-3

10、的图象与直线y=a有且仅有3个交点，求a的值。　　解：∵f(x)=

11、(x-1)2-4

12、=

13、(x+1)(x-3)

14、,　　∴　　由图象易知a=4。　　注：此题可以根据函数图

15、像的对称性直接画出函数图像，再根据数形结合的方法求出，不用写出函数解析式，更简单。106．求分段函数得反函数例6已知是定义在上的奇函数,且当时,,设得反函数为,求的表达式.【解析】设,则,所以,又因为是定义在上的奇函数,所以,且,所以,因此,从而可得.　注：求分段函数的反函数只要分别求出其反函数即可。7．判断分段函数的奇偶性例7．判断函数的奇偶性.【解析】当时,,,当时,,当,,因此,对于任意都有,所以为偶函数.　　注：分段函数的奇偶性必须对x的值分类，从而比较f(-x)与f(x)的关系，得出f(x)是否是奇偶函数的结论。8．判断分段函数的单调性例8

16、．判断函数的单调性.【解析】显然连续.当时,恒成立,所以是单调递增函数,10当时,恒成立,也是单调递增函数,