振动的测量,傅里叶变换,duhamel积分,反应谱

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1、8振动的测量8.1前言有的时候，一些微小的、不显著的振动，会与结构，或者结构的某一部分产生共振，从而将振动放大。共振也会发生在人的身上，人体的自振频率大概为7.5Hz，因此次声（<20Hz）会对人体造成伤害。所以说，对于结构来说，利用合适的装置或者设计来减小这样的共振是非常有必要的。那么，想要研究如何减小共振,我们首先要知道将要发生的振动的参数。想要知道这些参数，我们就需要一些仪器来测量，这些仪器就是我们这章要了解的。首先来看一下一些概念。在结构工程中常常进行运动量（位移、速度或加速度）的测量，例如地震动时程的测量；振动台试验中结构模型的动力反应的测量；脉动作用下结

2、构物的振动的测量；大桥、超高层结构风振的测量等。用于测量振动量的仪器（拾振仪）主要有三种：加速度位移计：测量加速度的时程（强震仪）。位移计：测量位移时程（地震仪）。速度计：测量速度。8.2理论8.2.1运动方程的建立D’Alembert原理：在质点系的运动的任意瞬间，如果除了实际作用于每一质点的主动力和约束反力外，再加上假想的惯性力，则在该瞬间质点系将处于假想的平衡状态，称之为动力平衡状态。记Fi、fIi、Si分别为质点mi所受的主动力、惯性力和约束反力，则D’Alembert原理可表示为Fi+fIi+Si=0通常主动力Fi包括外荷载、阻尼力和弹性恢复力。上图质量块

3、m所受的主动力为F(t)=P(t)-cut-kut惯性力为fI=-mut由于该体系是约束反力不做功的理想约束体系，故列运动方程时仅考虑运动方向上的受力，此时的约束反力是没有的。将上面两式代入D’Alembert原理表达式，有mut+cut+kut=P(t)当然，建立运动方程的方法有多种，除了上面介绍的D’Alembert原理之外，还有虚位移原理、Hamilton原理和Lagrange方程，这四种方法对建立运动方程是完全等同的，可以推得完全相同的运动方程。8.2.2Fourier变化法（频域分析法）最简单的测量仪器模型是一单自由度弹簧-质点-阻尼体系，被封闭在一个刚性

4、盒子里面，如图所示单自由度体系运动方程为：mut+cut+kut=-mugt⋯⋯⋯⋯⋯⋯(1)其中：c=2mωnζkm=ωn则（1）式可以写为：ut+2ωnζut+ωn2ut=-ugt⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2)使用傅里叶变换法（之后补上介绍），正变换，把问题从时间域（自变量为t）转变到频域（自变量为ω），可得：-ω2Uω+i2ζωnωUω+ωn2Uω=ω2Gω⋯⋯⋯⋯⋯⋯(3)Uω=Gωω2ωn21-ω2ωn2+i2ζωωn=HωGω⋯⋯⋯⋯⋯⋯(4)UωGω=ω2ωn21-ω2ωn22+2ζωωn212⋯⋯⋯⋯⋯⋯(5)ϕω=arctan2ζωωn1-ω2ωn2⋯⋯⋯⋯⋯

5、⋯(6)下面给出了UωGω与ϕω关于频率比的图像：H(ω)为复频反应函数，也叫传递函数。相角ϕω的含义，在动力荷载作用下，有阻尼体系的动力反应（位移、速度、加速度）一定要滞后动力荷载一段时间，即存在反应滞后现象。相角ϕ实际是反映结构体系位移相对于动力荷载的反应滞后时间，从下图可以发现，频率比越大，即外荷载作用的越快，动力反应的滞后时间越长。补充：傅立叶变换Fourier变换的定义为Uω=-∞∞ute-iωtdt-正变换ut=12π-∞∞Uωe-iωtdω-逆变换其中，Uω称为位移ut的Fourier谱。根据Fourier变换的性质，速度和加速度的Fourier变换为

6、-∞∞ute-iωtdt=iωU(ω)-∞∞ute-iωtdt=-ω2U(ω)8.3振动测量仪器8.3.1加速度计（强震仪）加速度计测量的是加速度，在基底加速度作用下仪器质点的运动方程为式（1）：mut+cut+kut=-mug(t)实际要测量的加速度运动时程是任意变化的，包含在一定的频段分布的一系列简谐分量，我们可以先分析仪器对一个简谐分量的测量。仪器基底加速度时程：ugt=ug0sinωt⋯⋯⋯⋯⋯⋯(7)为简谐运动，其中ug0为地面运动加速度的振幅。带入上式，可得仪器质点的相对位移ut为ut=-mug0k11-(ωωn)22+2ζ(ωωn)2sinωt-ϕ=-

7、mkRdug0sin⁡(ωt-ϕ)⋯⋯⋯⋯⋯⋯(8)下面仅讨论ut的振幅u0u0=mkRdug0⋯⋯⋯⋯⋯⋯(9)作为一种测量仪器，其测量的对象的单位可以不同，但一定要成比例。由上式可知，仪器记录值u0与被测量的地面加速度值之间的关系变化由动力放大系数Rd决定，而动力放大系数Rd是由ω的函数，观察不同阻尼比时动力放大系数曲线图（下图）可以发现，当ζ=0.7时，在频段0≤ω≤0.5范围内，Rd≈1为常数。即在以上的频段范围内，仪器反应的振幅u0，或者说是对于不同的简谐运动，仪器的记录与仪器要测量的加速的振幅成线性关系。这时可以用仪器反应u来度量要测量的加速的。为了