八个有趣模型—搞定空间几何体及外接球与内切球

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1、.八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式，即，求出例1（1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为，体积为，则这个球的表面积是（C）A．B．C．D．（2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是解：（1），，，，选C；（2），（3）在正三棱锥中，分别是棱的中点，且,若侧棱,则正三棱锥外接球的表面积是。解：引理：正三棱锥的对棱互垂直。证明如下：如图（3）-1，取的中点，连接，交于，连接，则是底面正三角形的中心，平面，，，，，平面，，同理

2、：，，即正三棱锥的对棱互垂直，本题图如图（3）-2，，，，，平面，，，，，平面，，故三棱锥的三棱条侧棱两两互相垂直，，即，正三棱锥外接球的表面积是..（4）在四面体中，，则该四面体的外接球的表面积为（D）（5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为、、，那么它的外接球的表面积是（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为的等腰直角三角形和边长为的正方形，则该几何体外接球的体积为解析：（4）在中，，，的外接球直径为，，，选D（5）三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为（），则，，，，，，，（6），，，类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）1．题设：如

3、图5，平面解题步骤：第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得），；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①；..②2．题设：如图6，7，8，的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点解题步骤：第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：，解出方法二：小圆直径参与构造大圆。例2一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面

4、积为()CA．B．C．D．以上都不对解：选C，,,,,..类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）1．题设：如图9-1，平面平面，且（即为小圆的直径）第一步：易知球心必是的外心，即的外接圆是大圆，先求出小圆的直径；第二步：在中，可根据正弦定理，求出2．如图9-2，平面平面，且（即为小圆的直径）3．如图9-3，平面平面，且（即为小圆的直径），且的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等三棱的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点解题步骤：第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：，解出4．如图9-3

5、，平面平面，且（即为小圆的直径），且，则利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①；②例3（1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为，则该球的表面积为。（2）正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为解：（1）由正弦定理或找球心都可得，，（2）方法一：找球心的位置，易知，，，故球心在正方形的中心处，，方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是的外接圆，此处特殊，的斜边是球半径，，，..（3）在三棱锥中，,侧棱与底面所成的角为，则该三棱锥外接球的体积为（）A．　B.　C.4　D.解：选D，圆锥在以的圆上，（4）已知三棱锥的

6、所有顶点都在球的求面上,是边长为的正三角形,为球的直径,且，则此棱锥的体积为（　　）AA．B．C．D．解：，，类型四、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）题设：如图10-1，图10-2，图10-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；第三步：勾股定理：，解出例4（1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为，则这个球的体积为解：设正六边形边长为，正六棱柱的高为，底面外

7、接圆的关径为，则，底面积为，，，，，球的体积为..（2）直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于。解：，，，，（3）已知所在的平面与矩形所在的平面互相垂直，，则多面体的外接球的表面积为。解析：折叠型，法一：的外接圆半径为，，；法二：，，，，（4）在直三棱柱中，则直三棱柱的外接球的表面积为。解析：，，，，，类型五、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图11)第一步：先画出如图所示的图形，将画在小圆上，找出和的外心和；第二步：过和分别作平面和平面的垂线，两垂线的交点即为球心，连接；第三步：解，算出，在中，勾股定理：例5三棱锥

8、中，平面平