高三数学空间向量一轮复习

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1、第十三章空间向量考纲导读1.理解空间向量的概念;掌握空间向量的加法、减法和数乘.2.了解空间向量的基本定理;理解空间向量坐标的概念;掌握空间向量的坐标运算.空间向量定义、加法、减法、数乘运算数量积坐标表示:夹角和距离公式求距离求空间角证明平行与垂直3.掌握空间向量的数量积的定义及其性质;掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式;掌握空间两点间的距离公式.知识网络高考导航理解空间向量的夹角的概念;掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律;了解空间向量的数量积的几何意义;掌握空间向量的数量积的坐标形式;能用向量的数量积判断向量的共线与垂直第1课时空间向量及其

2、运算基础过关空间向量是平面向量的推广.在空间,任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量.因此,空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广.本节知识点是:1.空间向量的概念,空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积;(1)向量:具有和的量.(2)向量相等:方向且长度.(3)向量加法法则:.(4)向量减法法则:.(5)数乘向量法则:.2.线性运算律(1)加法交换律:a+b=.(2)加法结合律:(a+b)+c=.(3)数乘分配律:(a+b)=.3.共线向量(1)共线向量:表示空间向量的有向线段所在的直线互相或.(2)共线向量定理:对空间任意两个向量

3、a、b(b0),a∥b等价于存在实数,使.(3)直线的向量参数方程:设直线l过定点A且平行于非零向量a,则对于空间中任意一点O,点P在l上等价于存在,使.4.共面向量(1)共面向量:平行于的向量.(2)共面向量定理:两个向量a、b不共线,则向量P与向量a、b共面的充要条件是存在实数对(),使P.共面向量定理的推论:.5.空间向量基本定理(1)空间向量的基底:的三个向量.(2)空间向量基本定理:如果a,b,c三个向量不共面,那么对空间中任意一个向量p,存在一个唯一的有序实数组,使.空间向量基本定理的推论:设O,A,B,C是不共面的的四点,则对空间中任意一

4、点P,都存在唯一的有序实数组,使.6.空间向量的数量积(1)空间向量的夹角:.(2)空间向量的长度或模:.(3)空间向量的数量积:已知空间中任意两个向量a、b,则a·b=.空间向量的数量积的常用结论:(a)cos〈a、b〉=;(b)ïaï2=;(c)ab.(4)空间向量的数量积的运算律:(a)交换律a·b=;(b)分配律a·(b+c)=.典型例题例1.已知正方体ABCD—A1B1C1D1中,点F是侧面CDD1C1的中心,若,求x-y的值.解:易求得变式训练1.在平行六面体中,M为AC与BD的交点,若a,b,c,则下列向量中与相等的向量是()A.-a+b

5、+cB.a+b+cABCDA1C1B1C.a-b+cD.-a-b+c解:A例2.底面为正三角形的斜棱柱ABC-A1B1C1中,D为AC的中点,求证:AB1∥平面C1BD.证明:记则∴,∴共面.∵B1平面C1BD,AB1//平面C1BD.变式训练2:正方体ABCD-EFGH中,M、N分别是对角线AC和BE上的点,且AM=EN.(1)求证:MN∥平面FC;(2)求证:MN⊥AB;(3)当MA为何值时,MN取最小值,最小值是多少?解:(1)设(2)(3)设正方体的边长为a,也即,例3.已知四面体ABCD中,AB⊥CD,AC⊥BD,G、H分别是△ABC和△AC

6、D的重心.求证:(1)AD⊥BC;(2)GH∥BD.证明:(1)AD⊥BC.因为ABCD,,而.所以AD⊥BC.(2)设E、F各为BC和CD的中点.欲证GH∥BD,只需证GH∥EF,=()=.变式训练3:已知平行六面体,E、F、G、H分别为棱的中点.求证:E、F、G、H四点共面.解:====,所以共面,即点E、F、G、H共面.例4.如图,平行六面体AC1中,AE=3EA1,AF=FD,AG=,过E、F、G的平面与对角线AC1交于点P,求AP:PC1的值.DFAGBB1C1D1A1CEP解:设∴又∵E、F、G、P四点共面,∴∴∴AP︰PC1=3︰16变式

7、训练4:已知空间四边形OABC中,M为BC的中点,N为AC的中点,P为OA的中点,Q为OB的中点,若AB=OC,求证.证明:法一:故法二:·=(+)·(+)=·==0小结归纳1.立体几何中有关垂直和平行的一些命题,可通过向量运算来证明.对于垂直,一般是利用a⊥ba·b=0进行证明.对于平行,一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明.2.运用向量求解距离问题,其一般方法是找出代表相应距离的线段所对向量,然后计算这个向量对应的模.而计算过程中只要运用好加法法则,就总能利用一个一个的向量三角形,将所求向量用有模和夹角的已知向量表示出来,从而求得结果.3.利用

8、向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便.其一般方法是将所求的角转化为求两个向量

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