极值点偏移问题的处理策略及探究

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1、极值点偏移问题的处理策略所谓极值点偏移问题，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性。若函数在处取得极值，且函数与直线交于,两点，则的中点为，而往往.如下图所示.极值点没有偏移此类问题在近几年高考及各种模考，作为热点以压轴题的形式给出，很多学生对待此类问题经常是束手无策。而且此类问题变化多样，有些题型是不含参数的，而更多的题型又是含有参数的。不含参数的如何解决？含参数的又该如何解决，参数如何来处理？是否有更方便的方法来解决？其实，处理的手段有很多，方法也就有很多，我们先来看看此类问题

2、的基本特征，再从几个典型问题来逐一探索！【问题特征】【处理策略】13一、不含参数的问题.例1.（2010天津理）已知函数，如果，且，证明：【解析】法一：，易得在上单调递增，在上单调递减，时，，，时，，函数在处取得极大值，且,如图所示.由，不妨设，则必有，构造函数，则，所以在上单调递增，，也即对恒成立.由，则，所以，即，又因为，且在上单调递减，所以，即证法二：欲证，即证，由法一知，故，又因为在上单调递减，故只需证，又因为，故也即证，构造函数，则等价于证明对恒成立.由，则在上单调递增，所以，即已证明对恒成立，故原不等式亦成

3、立.13法三：由，得，化简得…，不妨设，由法一知，.令，则，代入式，得，反解出，则，故要证：，即证：，又因为，等价于证明：…，构造函数，则，故在上单调递增，，从而也在上单调递增，，即证式成立，也即原不等式成立.法四：由法三中式，两边同时取以为底的对数，得，也即，从而，令，则欲证：，等价于证明：…，构造，则，又令，则，由于对恒成立，故，在上单调递增，所以，从而，故在上单调递增，由洛比塔法则知：，即证，即证式成立，也即原不等式成立.【点评】以上四种方法均是为了实现将双变元的不等式转化为单变元不等式，方法一、二利用构造新的函

4、数来达到消元的目的，方法三、四则是利用构造新的变元，将两个旧的变元都换成新变元来表示，从而达到消元的目的.13一、含参数的问题.例2.已知函数有两个不同的零点，求证：.【解析】思路1：函数的两个零点，等价于方程的两个实根，从而这一问题与例1完全等价，例1的四种方法全都可以用；思路2：也可以利用参数这个媒介去构造出新的函数.解答如下：因为函数有两个零点，所以，由得：，要证明，只要证明，由得：，即，即证：，不妨设，记，则，因此只要证明：，再次换元令，即证构造新函数，求导，得在递增，所以，因此原不等式获证.【点评】含参数的极

5、值点偏移问题，在原有的两个变元的基础上，又多了一个参数，故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数。例3.已知函数，为常数，若函数有两个零点，试证明：【解析】法一：消参转化成无参数问题：，是方程的两根，也是方程的两根，则是，设，，则，从而，此问题等价转化成为例1，下略.13法二：利用参数作为媒介，换元后构造新函数：不妨设，∵，∴，∴，欲证明，即证.∵，∴即证，∴原命题等价于证明，即证：，令，构造，此问题等价转化成为例2中思路二的解答，下略.法

6、三：直接换元构造新函数：设，则，反解出：，故，转化成法二，下同，略.例4.设函数，其图像与轴交于两点，且.证明：.【解析】由，易知：的取值范围为，在上单调递减，在上单调递增.法一：利用通法构造新函数，略；法二：将旧变元转换成新变元：∵两式相减得：，记，则，设，则，所以在13上单调递减，故,而，所以，又∵是上的递增函数，且，∴.容易想到，但却是错解的过程：欲证：，即要证：，亦要证，也即证：，很自然会想到：对两式相乘得：，即证：.考虑用基本不等式，也即只要证：.由于.当取将得到，从而.而二元一次不等式对任意不恒成立，故此法

7、错误.【迷惑】此题为什么两式相减能奏效，而变式相乘却失败？两式相减的思想基础是什么？其他题是否也可以效仿这两式相减的思路?【解决】此题及很多类似的问题，都有着深刻的高等数学背景.拉格朗日中值定理：若函数满足如下条件：（1）函数在闭区间上连续；（2）函数在开区间内可导，则在内至少存在一点，使得.当时，即得到罗尔中值定理.上述问题即对应于罗尔中值定理，设函数图像与轴交于两点，因此，∴，……由于，显然与，与已知不是充要关系，转化的过程中范围发生了改变.例5.（11年，辽宁理）13已知函数（I）讨论的单调性；（II）设，证明：

8、当时，；（III）若函数的图像与轴交于两点，线段中点的横坐标为，证明：.【解析】（I）易得：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（II）法一：构造函数，利用函数单调性证明，方法上同，略；法二：构造以为主元的函数，设函数，则，，由，解得，当时，，而，所以，故当时，.（III）由（I）知，只有当时，且的最大值，函数才