7-6 泰勒公式和泰勒级数

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1、一幂级数—定理1如果幂级数的系数满足条件

2、

3、则(1)当00和R2>0,则=f(x)g(x).的收敛半径Rmin{R1,R2}.2设幂级数的收敛半径R>0,则在收敛区间(R,R)内,其和函数S(x)是连续函数.若级数在端点收敛,则S(x)在端点单侧连续.3幂级数的和函数S(x)在收敛区间(R,R)内可导,并可以逐项求导任意次,且求导后级数的收敛半径不变.即f(x)=x(R,R)4幂级数的和函数S(x)

4、在收敛区间(R,R)内可积,并可逐项求积分,且积分后级数的收敛半径不变.x(R,R)即n=1(anxn)注:常用已知和函数的幂级数(1)(1

5、x0点附近,用适当的高次多项式Pn(x)=a0+a1(xx0)+a2(xx0)2+···+an(xx0)nf(x)一、泰勒公式猜想2若有相同的切线3若弯曲方向相同近似程度越来越好n次多项式系数的确定1若在x0点相交Pn(x0)=f(x0)Pn(x0)=f(x0)Pn(x0)=f(x0)y=f(x)假设Pn(k)(x0)=f(k)(x0)y=Pn(x)xoyx0即有Pn(x)=a0+a1(xx0)+a2(xx0)2+···+an(xx0)n假设Pn(k)(x0)=f(k)(x0)Pn(n)(x)=n!anPn(x)=a1+2a2(xx

6、0)+3a3(xx0)2+···+nan(xx0)n1Pn(x)=2a2+32a2(xx0)+···+n(n1)an(xx0)n2a0=f(x0),2a2=f(x0),n!an=f(n)(x0),k=0,1,2,3,···,n令x=x0得a1=f(x0),a0=f(x0),a1=f(x0),k=0,1,2,3,···,n代入Pn(x)中得Pn(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+(xx0)2+···+(xx0)nPn(x)=a0+a1(xx0)+a2(xx0)2+···+an(xx0)n称

7、为函数f(x)在x0处的泰勒多项式.k=0,1,2,3,···,n称为泰勒系数f(x)=Pn(x)+o(xx0)n.其中定理1(泰勒中值定理)若函数f(x)在x0点的某邻域UR(x0)内具有直到n+1阶连续导数,则当x取UR(x0)内任何值时,f(x)可按(xx0)的方幂展开为f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+(在x0与x之间)+Rn(x)公式(1)称为函数f(x)在x0处的泰勒公式.(1)Rn(x)称为拉格朗日(Lagrange)余项.泰勒系数k=0,1,2,···,n是唯一的.设f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+k证由于f(x)在U

8、R(x0)内具有n+1阶连续导数,作辅助函数(t)=f(x)[f(t)+f(t)(xt)+(x)=0=(x0),不妨设x0x时同理可证,其中f(x)=f(0)+f(0)x+1当x0=0时,(在0与x之间)或令=x,0<<1,则+Rn(x).称为函数f(x

9、)的麦克劳林(Maclaurin)公式.2f(x)f(x0)+f(x0)(xx0)+其误差为:Rn(x)解例1*求f(x)=ex在x=0的n阶泰勒公式.因为f(n)(x)=ex,n=1,2,3,所以f(n)(0)=e0=1,n=1,2,3,于是f(x)=ex在x=0的n阶泰勒公式为:其中0<<1.定义如果函数f(x)在x0的某邻域内是存在任意阶导数,则幂级数称为函数f(x)在x0处的泰勒级数.=f(x0)+f(x0)(xx0)二、泰勒级数称为函数f(x)的麦克劳林级数.问题:泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?