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时间:2018-10-17
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1、必修二立体几何典型例题【知识要点】1.空间直线和平面的位置关系:(1)空间两条直线:①有公共点:相交,记作:a∩b=A,其中特殊位置关系:两直线垂直相交.②无公共点:平行或异面.平行,记作:a∥b.异面中特殊位置关系:异面垂直.(2)空间直线与平面:①有公共点:直线在平面内或直线与平面相交.直线在平面内,记作:aa.直线与平面相交,记作:a∩a=A,其中特殊位置关系:直线与平面垂直相交.②无公共点:直线与平面平行,记作:a∥a.(3)空间两个平面:①有公共点:相交,记作:a∩b=l,其中特殊位置关系:两平面垂直相交.
2、②无公共点:平行,记作:a∥b.2.空间作为推理依据的公理和定理:(1)四个公理与等角定理:公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内.公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.定理:空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补.(2)空间中线面平行、垂直的性质与判定定理:①判定定理:如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,
3、那么该直线与此平面平行.如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面平行.如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直.如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.②性质定理:如果一条直线与一个平面平行,那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行.如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线相互平行.垂直于同一个平面的两条直线平行.如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.(3)我们把上述判定定理与性质定理进行整
4、理,得到下面的位置关系图:【例题分析】例2在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,M,N分别是AB,PC的中点,求证:MN∥平面PAD.【分析】要证明“线面平行”,可通过“线线平行”或“面面平行”进行转化;题目中出现了中点的条件,因此可考虑构造(添加)中位线辅助证明.证明:方法一,取PD中点E,连接AE,NE.∵底面ABCD是平行四边形,M,N分别是AB,PC的中点,∴MA∥CD,∵E是PD的中点,∴NE∥CD,∴MA∥NE,且MA=NE,∴AENM是平行四边形,∴MN∥AE.又AE平面PAD,MN平面PA
5、D,∴MN∥平面PAD.方法二取CD中点F,连接MF,NF.∵MF∥AD,NF∥PD,∴平面MNF∥平面PAD,∴MN∥平面PAD.【评述】关于直线和平面平行的问题,可归纳如下方法:(1)证明线线平行:a∥c,b∥c,a∥α,aβα∥βa⊥α,b⊥αα∩β=bg∩α=a,g∩β=ba∥ba∥ba∥ba∥b(2)证明线面平行:a∩α=a∥bα∥βbα,aαaβa∥αa∥αa∥α(3)证明面面平行:α∩β=a∥β,b∥βa⊥α,a⊥βα∥g,β∥ga,bα,a∩b=Aα∥βα∥βα∥βα∥β例3在直三棱柱ABC-A1B1
6、C1中,AA1=AC,AB⊥AC,求证:A1C⊥BC1.【分析】要证明“线线垂直”,可通过“线面垂直”进行转化,因此设法证明A1C垂直于经过BC1的平面即可.证明:连接AC1.∵ABC-A1B1C1是直三棱柱,∴AA1⊥平面ABC,∴AB⊥AA1.又AB⊥AC,∴AB⊥平面A1ACC1,∴A1C⊥AB.①又AA1=AC,∴侧面A1ACC1是正方形,∴A1C⊥AC1.②由①,②得A1C⊥平面ABC1,∴A1C⊥BC1.【评述】空间中直线和平面垂直关系的论证往往是以“线面垂直”为核心展开的.如本题已知条件中出现的“直三棱
7、柱”及“AB⊥AC”都要将其向“线面垂直”进行转化.例4在三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥平面ABC,AB⊥BC,AP⊥PB,求证:平面PAC⊥平面PBC.【分析】要证明“面面垂直”,可通过“线面垂直”进行转化,而“线面垂直”又可以通过“线线垂直”进行转化.证明:∵平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,且AB⊥BC,∴BC⊥平面PAB,∴AP⊥BC.又AP⊥PB,∴AP⊥平面PBC,又AP平面PAC,∴平面PAC⊥平面PBC.【评述】关于直线和平面垂直的问题,可归纳如下方法:(1)证明线线垂直:a⊥c
8、,b∥c,a⊥αbαa⊥ba⊥b(1)证明线面垂直:a⊥m,a⊥na∥b,b⊥αα∥β,a⊥βα⊥β,α∩β=lm,nα,m∩n=Aaβ,a⊥la⊥αa⊥αa⊥αa⊥α(1)证明面面垂直:a⊥β,aαα⊥β例5如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面A1ABB1是菱形,且垂直于底面ABC,∠A1AB=60°,E,F分别是AB1,BC的中点.
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