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1、第2章晶体的结合习题1.有一晶体,平衡时体积为，原子间相互作用势为.如果相距为r的两原子互作用势为证明(1)体积弹性模量为K=(2)求出体心立方结构惰性分子的体积弹性模量.[解答]设晶体共含有N个原子,则总能量为U(r)=.由于晶体表面层的原子数目与晶体内原子数目相比小得多,因此可忽略它们之间的基异,于是上式简化为U=设最近邻原子间的距离为R则有R再令AA得到U=平衡时R=R,则由已知条件U(R)=得由平衡条件得.由(1),(2)两式可解得利用体积弹性模量公式[参见《固体物理教程》(2.14)式]K=得K
2、===由于因此于是K=(1)由《固体物理教程》(2.18)式可知,一对惰性气体分子的互作用能为16若令,则N个惰性气体分子的互作用势能可表示为.由平衡条件可得R进一步得代入K=并取m=6，n=12，V得K=.对体心立方晶体有A于是1.一维原子链,正负离子间距为,试证:马德隆常数为1n2.[解答]相距的两个离子间的互作用势能可表示成设最近邻原子间的距离为R则有,则总的离子间的互作用势能U=.基中为离子晶格的马德隆常数,式中+;-号分别对应于与参考离子相异和相同的离子.任选一正离子作为参考离子,在求和中对负离
3、子到正号,对正离子取负号,考虑到对一维离子两边的离子是正负对称分布的,则有利用正面的展开式1n(1+)并令得=1n(1+1)=1n2.于是,一维离子链的马德常数为1n22.计算面心立方面简单格子的和(1)只计最近邻;(2)计算到次近邻;(3)计算到次近邻.[解答]图2.26示出了面心立方简单格子的一个晶胞.角顶O原子周围有8个这样的晶胞,标号为1的原子是原子O的最近邻标号为2的原子是O原子的最近邻,标号为3的原子是O原子的次次近邻.由此得到,面心立方简单格子任一原子有12个最近邻,6个次近邻及24个次次近
4、邻.以最近邻距离度量,其距离分别为:由16图2.6面心立方晶胞得(1)只计最近邻时，.(2)计算到次近邻时(3)计算到次次近邻时由以上可以看出,由于中的幂指数较大,收敛得很快,而中的幂指数较小,因此收敛得较慢,通常所采用的面心立方简单格子的和的数值分别是14.45与12.13.1.用埃夫琴方法计算二维正方离子(正负两种)格子的马德隆常数.[解答]马德隆常数的定义式为,式中+、-号分别对应于与参考离子相异和相同的离子,二维正方离子(正负两种)格子,实际是一个面心正方格子,图2.7示出了一个埃夫琴晶胞.设参考
5、离子O为正离子,位于边棱中点的离子为负离子,它们对晶胞的贡献为4(1/2).对参考离子库仑能的贡献为图2.7二维正方离子晶格顶角上的离子为正离子,它们对晶胞的贡献为4(1/4),对参考离子库仑能的贡献为因此通过一个埃夫琴晶胞算出的马德隆常数为再选取个埃夫琴晶胞作为考虑对象,这时离子O16的最的邻,次近邻均在所考虑的范围内,它们对库仑能的贡献为而边棱上的离子对库仑能的贡献为顶角上的离子对为库仑能的贡献为这时算出的马德隆常数为图2.84个埃夫琴晶胞同理对个埃夫琴晶胞进行计算,所得结果为对个埃夫琴晶胞进行计算,
6、所得结果为当选取n个埃夫琴晶胞来计算二维正方离子(正负两种)格子的马德隆常数,其计算公式(参见刘策军,二维NaC1晶体马德隆常数计算,《大学物理》，Vo1.14,No.12,1995.)为其中161.用埃夫琴方法计算CsCl型离子晶体的马德隆常数(1)只计最近邻(2)取八个晶胞[解答](1)图2.29是CsCl晶胸结构,即只计及最近邻的最小埃夫琴晶胞,图2.29是将Cs双在体心位置的结构,图2.9(a)是将Cl取在体心位置的结构,容易求得在只计及最近邻情况下,马德隆常数为1.图2.29（a）Cs取为体心的
7、CsC1晶胞,(b)C1取为体心的CsC1晶胞(2)图2.10是由8个CsCl晶胞构成的埃夫琴晶胞,8个最近邻在埃夫琴晶胞内,每个离子对晶胞的贡献为1,它们与参考离子异号,所以这8个离子对马德隆常数的贡献为8埃夫琴晶胞6个面上的离子与参考离子同号,它们对埃夫琴晶胞的贡献是,它们与参考离子的距离为它们对马德隆常数的贡献为-图2.108个CsCl晶胞构成的一个埃夫琴晶胞埃夫琴晶胞楞上的12个离子,与参考离子同号,它们对埃夫琴晶胞的贡献是它们与参考离子的距离为它们对马德隆常数的贡献为-埃夫琴晶胞角顶上的8个离子
8、,与参考离子同号,它们对埃夫琴晶胞的贡献是它们与参考离子的距离为2R它们对马德隆常数的贡献为-,由8个CsCl晶胞构成的埃夫琴晶胞计算的马德隆常数为了进一步找到马德常数的规律,我们以计算了由27个CsCl晶胞构成的埃夫琴晶胞的马德隆常数,结果发现,由27个CsCl晶胞构成的埃夫琴晶胞的马德隆常数是0.439665.马德隆常数的不收敛,说明CsCl晶胞的结构的马德隆常数不能用传统的埃夫琴方法计算.为了找出合理的计算方法,必须首先
