正十七边形尺规作图与详解

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1、解读“数学王子”高斯正十七边形的作法一、高斯的传奇故事高斯(CarlFriedrichGauss1777.4.30~1855.2.23），德国数学家、物理学家、天文学家。有一天，年幼的高斯在一旁看著作水泥工厂工头的父亲计算工人们的周薪。父亲算了好一会儿，终于将结果算出来了。可是万万没想到，他身边传来幼嫩的童音说：“爸爸，你算错了，总数应该是……”父亲感到很惊异，赶忙再算一遍，结果证实高斯的答案是对的。这时的高斯只有3岁！ 高斯上小学了，教他们数学的老师布特勒(Buttner)是一个态度恶劣的人，他讲课时从不考虑学生的接受能力，有时还用鞭子惩罚学生

2、。有一天，布德勒让全班学生计算1+2+3+4+5+……+98+99+100＝？的总和，并且威胁说：“谁算不出来，就不准回家吃饭！”布德勒说完，就坐在一旁独自看起小说来，因为他认为，做这样一道题目是需要些时间的。小朋友们开始计算：“1+2＝3，3+3＝6，6+4＝10，……”数越来越大，计算越来越困难。但是不久，高斯就拿着写着解答的小石板走到布德勒的身边。高斯说：“老师，我做完了，你看对不对？“做完了？这么快就做完了？肯定是胡乱做的！”布德勒连头都没抬，挥挥手说：“错了，错了！回去再算！”高斯站着不走，把小石板往前伸了伸说：“我这个答案是对的。”　

3、　布德勒抬头一看，大吃一惊。小石板上写着5050，一点也没有错！高斯的算法是1＋2＋3＋……＋98＋99＋100100＋99＋98＋……＋3＋2＋1101＋101＋101＋……＋101＋101＋101＝101×100＝1010010100÷2＝5050高斯并不知道，他用的这种方法，其实就是古代数学家经过长期努力才找出来的求等差数列和的方法，那时他才八岁！ 1796年的一天，德国哥廷根大学。高斯吃完晚饭，开始做导师给他单独布置的三道数学题。前两道题他不费吹灰之力就做了出来了。第三道题写在另一张小纸条上：要求只用圆规和没有刻度的直尺，作出一个正十七边

4、形。这道题把他难住了——所学过的数学知识竟然对解出这道题没有任何帮助。时间一分一秒的过去了，第三道题竟毫无进展。他绞尽脑汁，尝试着用一些超常规的思路去寻求答案。当窗口露出曙光时，他终于解决了这道难题。当他把作业交给导师时，感到很惭愧。他对导师说：“您给我布置的第三道题，我竟然做了整整一个通宵，……”导师看完作业后，激动地对他说：“你知不知道？你解开了一桩有两千多年历史的数学悬案！阿基米得没有解决，牛顿也没有解决，你竟然一个晚上就解出来了。你是一个真正的天才！”原来，导师也一直想解开这道难题。那天，他是因为拿错了，才将写有这道题目的纸条交给了学生。

5、在这件事情发生后，高斯曾回忆说：“如果有人告诉我，那是一道千古难题，我可能永远也没有信心将它解出来。”1796年3月30日，当高斯差一个月满十九岁时，在期刊上发表《关于正十七边形作图的问题》。他显然以此为自豪，还要求以后将正十七边形刻在他的墓碑上。然而高斯的纪念碑上并没有刻上十七边形，而刻着一颗十七角星，原来是负责刻纪念碑的雕刻家认为：“正十七边形和圆太像了，刻出来之后，每个人都会误以为是一个圆。”1877年布雷默尔奉汉诺威王之命为高斯做一个纪念奖章。上面刻着：“汉诺威王乔治V.献给数学王子高斯(GeorgiusV.rexHannoverageM

6、athematicorumprincipi)”，自那之后，高斯就以“数学王子”着称于世。二、高斯正十七边形尺规作图的思路（这里是纯三角法）作正十七边形的关键是作出cos，为此要建立求解cos的方程。　　设正17边形中心角为α，则17α＝2π，即16α＝2π－α　　故sin16α＝－sinα，而sin16α＝2sin8αcos8α＝4sin4αcos4αcos8α＝8sin2αcos2αcos4αcos8α＝16sinαcosαcos2αcos4αcos8α　　因sinα≠0，两边除以sinα，有16cosαcos2αcos4αcos8α＝－1由积

7、化和差公式，得4(cosα＋cos3α)(cos4α＋cos12α)＝－1展开，得4(cosαcos4α＋cosαcos12α＋cos3αcos4α＋cos3αcos12α)＝－1再由积化和差公式，得2[(cos3α＋cos5α)＋(cos11＋cos13α)＋(cosα＋cos7α)＋(cos9α＋cos15α)]＝－1注意到cos11α＝cos6α，cos13α＝cos4α，cos9α＝cos8α，cos15α＝cos2α，有2(cosα＋cos2α＋cos3α＋cos4α＋cos5α＋cos6α＋cos7α＋cos8α)＝－1设a＝2(co

8、sα+cos2α+cos4α+cos8α)，b＝2(cos3α+cos5α+cos6α+cos7α)，则a＋b＝－1　　又ab＝2(co