圆与方程知识点整理

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1、关于圆与方程的知识点整理一、标准方程:二、一般方程：1.表示圆方程则2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法。3.常可用来求有关参数的范围三、点与圆的位置关系1.判断方法：点到圆心的距离与半径的大小：点在圆内；点在圆上；点在圆外2.涉及最值：（1）圆外一点，圆上一动点，讨论的最值（2）圆内一点，圆上一动点，讨论的最值四、直线与圆的位置关系1.判断方法（为圆心到直线的距离）：（1）相离没有公共点；（2）相切只有一个公共点；（3）相交有两个公共点。这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围.2.直线与圆相切（1）知识要点：①基本图形②

2、主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等问题：直线与圆相切意味着什么？圆心到直线的距离恰好等于半径（2）常见题型——求过定点的切线方程①切线条数：点在圆外——两条；点在圆上……一条；点在圆内……无②求切线方程的方法及注意点i）点在圆外：如定点，圆：，[]第一步：设切线方程；第二步：通过，从而得到切线方程特别注意：以上解题步骤仅对存在有效，当不存在时，应补上……千万不要漏了！如：过点作圆的切线，求切线方程.ii）点在圆上：（1）若点在圆上，则切线方程为（2）若点在圆上，则切线方程为由上述分析：过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步——判断点与圆的位置

3、关系，得出切线的条数.③求切线长：利用基本图形，求切点坐标：利用两个关系列出两个方程3.直线与圆相交（1）求弦长及弦长的应用问题：垂径定理及勾股定理——常用弦长公式：（2）判断直线与圆相交的一种特殊方法：直线过定点，而定点恰好在圆内.（3）关于点的个数问题例：若圆上有且仅有两个点到直线的距离为1，则半径的取值范围是_________________.答案：4.直线与圆相离：会对直线与圆相离作出判断（特别是涉及一些参数时）五、对称问题1.若圆，关于直线，则实数的值为____.答案：3（注意：时，，故舍去）变式：已知点是圆:上任意一点，点关于直线的对称点

4、在圆上，则实数_________.2.圆关于直线对称的曲线方程是________________.变式：已知圆：与圆：关于直线对称，则直线的方程为_______________.3.圆关于点对称的曲线方程是__________________.4.已知直线：与圆：，问：是否存在实数使自发出的光线被直线反射后与圆相切于点？若存在，求出的值；若不存在，试说明理由.六、最值问题方法主要有三种：（1）数形结合；（2）代换；（3）参数方程1.已知实数，满足方程，求：（1）的最大值和最小值；——看作斜率（2）的最小值；——截距（线性规划）（3）的最大值和最小值.

5、——两点间的距离的平方2.已知中，，，，点是内切圆上一点，求以，，为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值.数形结合和参数方程两种方法均可！3.设为圆上的任一点，欲使不等式恒成立，则的取值范围是____________.答案：（数形结合和参数方程两种方法均可！）七、圆的参数方程，为参数；，为参数八、相关应用1.若直线（，），始终平分圆的周长，则的取值范围是______________.2.已知圆：，问：是否存在斜率为1的直线，使被圆截得的弦为，以为直径的圆经过原点，若存在，写出直线的方程，若不存在，说明理由.提示：或弦长公式.答案：或3.已知圆：，点，

6、，设点是圆上的动点，，求的最值及对应的点坐标.4.已知圆：，直线：（）（1）证明：不论取什么值，直线与圆均有两个交点；（2）求其中弦长最短的直线方程.5.若直线与曲线恰有一个公共点，则的取值范围.6.已知圆与直线交于，两点，为坐标原点，问：是否存在实数，使，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.九、圆与圆的位置关系1.判断方法：几何法（为圆心距）：（1）外离（2）外切（3）相交（4）内切（5）内含2.两圆公共弦所在直线方程圆：，圆：，则为两相交圆公共弦方程.补充说明：若与相切，则表示其中一条公切线方程；若与相离，则表示连心线的中垂线方程.3圆系问题（

7、1）过两圆：和：交点的圆系方程为（）说明：1）上述圆系不包括；2）当时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）（2）过直线与圆交点的圆系方程（3）两圆公切线的条数问题：①相内切时，有一条公切线；②相外切时，有三条公切线；③相交时，有两条公切线；④相离时，有四条公切线十、轨迹方程（1）定义法（圆的定义）（2）直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标的关系式…轨迹方程.例：过圆外一点作圆的割线，求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程.分析：（3）相关点法（平移转换法）：一点随另一点的变动而变动特点为：主动点一定在某一已知的方程所

8、表示的（固定）轨迹上运动.例1.如图，已知定点，点是圆上的动点，的平分线交于，当点在圆上移动时，求动点的轨迹