量子力学典型例题分析解答

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1、量子力学例题第二章                              一．求解一位定态薛定谔方程1．试求在不对称势井中的粒子能级和波函数[解]薛定谔方程:                             当 ,     故有                              利用波函数在   处的连续条件由 处连续条件:   由 处连续条件:                          给定一个n值,可解一个, 为分离能级.2．  粒子在一维势井中的运动    求粒子的束缚定态能级与相应的归一化定态波函数[解]体系的定态薛

2、定谔方程为当时对束缚态    解为    在 处连续性要求将 代入得 又     相应归一化波函数为:   归一化波函数为:3          分子间的范得瓦耳斯力所产生的势能可近似地表示为   求束缚态的能级所满足的方程[解]束缚态下粒子能量的取值范围为  当 时     当 时         薛定谔方程为令     解为    当 时  令     解为当 时      薛定谔方程为    令  薛定谔方程为解为由      波函数满足的连续性要求,有                                               

3、                               要使 有非零解 不能同时为零    则其系数组成的行列式必须为零    计算行列式,得方程例题主要类型:1.算符运算; 2.力学量的平均值;  3.力学量几率分布.一. 有关算符的运算1.证明如下对易关系(1)             (2)  (3)   (4)   (5)                                                      [证]                    (1)           (2)                

4、                                                          (3)                                                                                                                                一般地,若算符是任一标量算符,有       (4)                                                                

5、                                 一般地,若算符是任一矢量算符,可证明有                             (5)                                                                                         =0同理：。2.    证明哈密顿算符为厄密算符[解]考虑一维情况                                                                         

6、                                                                                                                                                                                                     为厄密算符,为厄密算符,为实数                   为厄密算符        为厄密算符3已知轨道角动量的两个算符和共同的正交归一化本征函数完备集为

7、,        取:试证明:  也是和共同本征函数,对应本征值       分别为:。        [证]。  是的对应本征值为 的本征函数               是的对应本征值为 的本征函数又:      可求出:二.有关力学量平均值与几率分布方面1.       (1)证明 是的一个本征函数并求出相应的本征值；(2)求x在态中的平均值[解]                                                                   即             是的本征函数。本征值          

8、               2.     设粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动，如粒子的状