江苏省海州高级中学2015届高三数学(理)自编专题训练：专题二 数列(2)

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1、1.已知数列的通项公式为若成等差数列，则的取值集合是______________.解，，从而可得.答案为.2.已知等差数列的前n项和为，若，，则下列四个命题中真命题的序号为_____①；②；③；④解析：②③由题可得，且，所以①不好判断；④应为大于（一种结构的思维！）3.已知数列的通项公式为，若对于一切的自然数，不等式恒成立,则实数的取值范围为________解：令，∴∴∴，恒成立；∴数列对，上单调递增．∴；∴由题意可知∴又；∴；∴．4.已知等差数列的首项为，公差为，若对恒成立，则实数的取值范围是___

2、__-5-，所以，所以对恒成立，，5：已知数列{an}的首项a1＝a，Sn是数列{an}的前n项和，且满足：S＝3n2an＋S，an≠0，n≥2，n∈N*．（1）若数列{an}是等差数列，求a的值；（2）确定a的取值集合M，使aM时，数列{an}是递增数列．解：（1）在S＝3n2an＋S中分别令n＝2，n＝3，及a1＝a得(a＋a2)2＝12a2＋a2，(a＋a2＋a3)2＝27a3＋(a＋a2)2，因为an≠0，所以a2＝12－2a，a3＝3＋2a．因为数列{an}是等差数列，所以a1＋a3＝2a2

3、，即2(12－2a)＝a＋3＋2a，解得a＝3．经检验a＝3时，an＝3n，Sn＝，Sn－1＝满足S＝3n2an＋S．（2）由S＝3n2an＋S，得S－S＝3n2an，即(Sn＋Sn－1)(Sn－Sn－1)＝3n2an，即(Sn＋Sn－1)an＝3n2an，因为an≠0，所以Sn＋Sn－1＝3n2，(n≥2)，①所以Sn＋1＋Sn＝3(n＋1)2，②②－①，得an＋1＋an＝6n＋3，(n≥2)．③所以an＋2＋an＋1＝6n＋9，④④－③，得an＋2－an＝6，(n≥2)即数列a2，a4，a6，…，

4、及数列a3，a5，a7，…都是公差为6的等差数列，因为a2＝12－2a，a3＝3＋2a．所以an＝要使数列{an}是递增数列，须有a1＜a2，且当n为大于或等于3的奇数时，an＜an＋1，且当n为偶数时，an＜an＋1，即a＜12－2a，3n＋2a－6＜3(n＋1)－2a＋6(n为大于或等于3的奇数)，3n－2a＋6＜3(n＋1)＋2a－6(n为偶数)，解得＜a＜．所以M＝(，)，当aM时，数列{an}是递增数列．6：已知数列满足数列满足，数列的前项和（1）求数列的通项公式；（2）令，为数列-5-的前

5、项和，求；（并项求和法）（3）若使不等式成立的自然数恰好有4个，求正整数的值.解答：(1)由即，为首项是，公比为2的等比数列；(2)，（1）由得，时上式成立．时，原式变为令则时，由解得，所以7.设数列，对任意都有，(其中、、是常数)（1）当，，时，求；（2）当，，时，若，，求数列的通项公式；（3）探究数列为封闭数列的充要条件（4）若数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.当，，时，设是数列的前项和，，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使得对任意，都有，且．若存在，求数列

6、的首项-5-的所有取值；若不存在，请说明理由解：（1）当，，时，，①用去代得，，②②-①得，，，在①中令得，，则0，∴，∴数列是以首项为1，公比为3的等比数列，∴=（2）当，，时，，③用去代得，，④④-③得，，⑤用去代得，，⑥⑥-⑤得，，即，∴数列是等差数列∵，，∴公差，∴（3），则恒成立，则恒成立，则的偶数（4）由（2）知数列是等差数列，∵，∴又是“封闭数列”，得：对任意，必存在使，得，故是偶数，又由已知，，故.一方面，当时，，对任意，都有。另一方面，当时，，，则-5-，取，则，不合题意当时，，，则

7、，当时，，，，又，∴或或或-5-