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1、试卷（一）：一.填空题（共20分）1.若是6阶方阵的伴随矩阵，且_0_.(注:参考48页14题)2.设，则3.设是的子空间，则V的维数是2_.4.对称矩阵A的全部特征值为4,-5,3,2,若已知矩阵为正定矩阵,则常数必须大于数值_5__.5.已知阶矩阵,则矩阵的逆是_____________________________________.二．选择题（共20分）1.若是阶方阵,下列等式中恒等的表达式是（D）(A)；(B)；(C）； (D).2.若为阶方阵,则为正交矩阵的充分必要条件不是(D)(A)的列向量构成
2、单位正交基；(B)的行向量构成单位正交基；(C)；(D)3.若是空间的一个维子空间,是的一组基;是空间的一个维子空间,是的一组基,且则:（D）(A)向量组可以由向量组线性表示；(B)向量组可以由向量组线性表示；(C)向量组与向量组可以相互线性表示；(D)向量组与向量组不能相互线性表示.（注:与的维数不同）4.若是实对称方阵A的两个不同特征根,是对应的特征向量,则以下命题哪一个不成立(C)(A)都是实数；(B)一定正交；(C)有可能是的特征向量；(D)有可能是的特征根.5.已知为阶方阵,且非齐次线性方程组的个线
3、性无关解为则的通解为(D).(A)；(B)；(C)；(D).（注:参见84页13题）三.解下列各题(共25分)1.若为3阶方阵,且,求:.(此题作法参考45页例2.25).2.设,求矩阵.(此题作法参考18页第7题).3.计算向量在基下的坐标.(此题为81页例4.29).4.设向量组求向量组的一个最大线性无关组.(此题作法参考69页例4.11).5.利用分块矩阵方法,计算的逆矩阵.解:记,其中:则:.四.证明题(8分)设维向量组和向量组有关系问维向量组和向量组是否同秩?证明你的结论.证明:维向量组和向量组是同
4、秩的.下面证明之:由已知条件有:(),于是从而向量组和向量组可以互相线性表示,即等价,故和的秩相同.五.(8分)二次型通过正交变换,可将此二次型化为标准形求参数及所用正交变换.(为115页第10题,见所给解答).六.(8分)求线性方程组的通解.(为76页例4.17).七.(6分)解矩阵方程,并写出解方程时初等矩阵的变换过程解:=上式中,对左乘初等矩阵,相当于对矩阵交换第1,2两行,得矩阵,右乘初等矩阵相当于再对矩阵交换第2,3两列,得矩阵即有:=八.(5分)设是4阶方阵,且的特征根互不相同,证明:(1)方阵有
5、四个线性无关的特征向量.(2)方阵可以对角化.证明:由于对应于不同特征值的特征向量线性无关,取为分别对应于不同特征值的特征向量,则线性无关.取,则可对角化.试卷(二)部分解答:一．（3）已知向量组线性相关,求解:线性相关可求出二.(8分)设,且求矩阵B.解:,可逆,且,于是五.(8分)求下列方程组的通解以及对应的齐次方程组的一个基础解系.(与76页例4.17类似作)六.(8分)求出把二次型化为标准形的正交变换,并求出使为正定时参数的取值范围.解:二次型的矩阵为由得特征值对可得的一个基础解系为:正交化:取对可得
6、的一个基础解系为:将分别单位化,得:取正交变换,则此正交变换将二次型化为标准形:正定七.(10分)设三阶实对称矩阵的特征值为3(二重根)、4(一重根),是的属于特征值4的一个特征向量,求解:设的属于特征值3的特征向量为,由于实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交,则有即:此方程的一个基础解系为:则为的属于特征值3的两个线性无关的特征向量,于是:=八.(10分)当为何值时,方程组有惟一解、无穷多解、无解?解:记,系数行列式(1).当时,由克莱姆法则知方程组有惟一解.(2).当时,于是方程组无解.(3).当时,
7、(i)当时,方程组有无穷多解.(ii)当时,方程组无解.九．(10分)(每小题5分,共10分)证明下列各题(1)设是可逆矩阵,证明也可逆,且(2)设是非零向量,证明是矩阵的特征向量.证明:(1)由于,则存在可逆矩阵使得于是由可逆知也可逆,且(2)设记由知为的属于的特征向量.试卷(三)解答:一.1.2.3.4.5.1,2,-3.二.1.D2.A3.D4.D5.D三.1.2..3.由有.4.而向量组:线性无关,可得故，，为一个最大线性无关组.5.令，则有：解得：ω的坐标为四解：原方程组同解下面的方程组：即：令,求
8、解得：（1，1，0，0，0）=η。齐次方程组基础解系为：。五．解：当时，由，求得基础解系：当时，由，求得基础解系：当时，由，求得基础解系：单位化：令，则若则六.证明:设则:于是即但因此从而有又线性无关,因此于是故有线性无关.试卷(四):一.填空题（共20分）1.设A是矩阵，是维列向量，则方程组有唯一解的充分必要条件是：rank(A)=rank(AB)=n.2.已知为单位矩阵,若可逆矩阵使得则当可逆时
