交通大学保送生数学试题

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1、交通大学保送生数学试题-、选择题(本题共15分，每小题3分.在每小题给出的4个选项中，只有一项正确，把所选项的字母填在括号内)1.若今天是星期二，则31998天之后是()A.星期四B.星期三C.星期二D.星期一2.用13个字母A，A,A，C，E,H,I，I，M,M,N,T,T作拼字游戏，若字母的各种排列是随机的，恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率是()A.48B.216C.1728D.13!3.方程cos2%-sin2x+sirL¥:13!13!/n+l有实数解，则实数/n的取值范围是()

2、13!A.m-1D.-3

3、量石=37+4｝上的投影二.3.函数y=2x+3W的单调增加区间是.4.两个等差数列200,203,206,...和50,54,58...都有100项，它们共同的项的个数是參5.方程7?-0+13)x+^M-2=O的两根分别在区间(0，1)和(1,2)内，则A的取值范围是•6.将3个相同的球放到4个盒子中，假没每个盒子能界纳的球数不限，而且各种不同的放法的出现是等可能的，则事件“有3个盒子各放一个球”的概率是.三、证明与计算(本题61分)31.(6分)已知正数列“1,6/2，…，如，且对大于1的，?有％

4、+“2+•••+%，¥2".人=丁.试证：6/1，6/2，...，％中至少有一个小于1.1.（10分）设3次多项式7W满足:j[x+2）=-j[-x）,.八0）=丨，X3）=4,试求炯•2.（8分）求极限lim（p>0）.+hx+cr>014.（10分）设f（x）’在1=0处可导，且原点到y（x）中直线的距离为一lx+m，x<03原点到.AX）中曲线部分的最短距离为3，I式求/?，c，/，m的值.（b，c〉0）5.（8分）证明不等式：1

5、，射手甲和射手乙命巾目标的概率都是1.若射手2甲先射，谁先命中目标谁就获胜，试求甲、乙两射手获胜的概率.6.(11分)如图所示，设曲线y=l上的点与x轴上的点顺次构成等腰直角三角形ZiOAApX/AA,B2A2,直角顶点在曲线＞，=丄上.试求A,,的坐标表达式，并说明这些三角形的而积之和是否存在.复旦大学保送生招生测试数学试题(理科)一、填空题(每小题10分，共60分)1.将自然数按顺序分组：第一组含一个数，第二组含二个数，第三组含三个数，......，第n组含n个数，即1;2,3;4,5,6;……令％

6、为第"组数之和，则6/,尸.2.sin汉+sin(a-)+sin^(6r—)=.3•lim[(n+2)log2(n+2)-2(n+1)log2(n+l)+nlog2n]=•1.己知平行六面体的底面是一个菱形且其锐角等于60度，又过此锐角的侧棱与锐角两边成等角，和底而成60度角，则两对角而而积之比为.2.正实数xj，满足关系式/-%^+4=0,又若么1,则＞•的最小值为.3.一列火车长500米以匀速在直线轨道上前进，当车尾经过某站台吋，有人驾驶摩托车从站台追赶火车给火车司机送上急件，然后原速返回，返回中

7、与车尾相遇时，此人发现这时正在离站台1000米处，假设摩托车车速不变，则摩托车从出发到站台共行驶了米.二、解答题(每小题15分，共90分)1.数列适合递推式=又q=l,求数列前《项和5,,.2.求证：从椭圆焦点出发的光线经光洁的椭圆壁反射后必经过另一个焦点.你还知道其它圆锥曲线的光学性质吗？请叙述但不必证明.3.正六棱锥的高等于/z,相邻侧而的两而角等于2arcsin求该棱锥的体积.(cos^4^^))4.设是复平而上单位圆上的四点，若Zi+Z2+Z3+Z4=0.求证：这四个点组成一个矩形.设(l+^)

8、H=x,,+y„人，其中x„，yM为整数，求/7一oo时，的极限.y”设平面上有三个点，任意二个点之间的距离不超过1.问：半径至少为多大的圆盘才能盖住这三个点.请证明你的结论.交大联读班试题直线y=ax+b关于y=-x的对称直线为。已知(:是［ABC的三边，,b