2013期末数学复习(解答题)(含详解)

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1、2013期末数学复习（解答题）1.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中AA1=AD=1，E为CD中点.（Ⅰ）求证：B1E⊥AD1；（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的行；若存在，求AP的长；若不存在，说明理由.（Ⅲ）若二面角A-B1EA1的大小为30°，求AB的长.142.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点.[来源%:*中#国教~育出@版网]（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE；（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角

2、和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积.解法1（Ⅰ如图（1）），连接AC，由AB=4，，Ｅ是ＣＤ的中点，所以所以而内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE.（Ⅱ）过点Ｂ作由（Ⅰ）CD⊥平面PAE知，ＢＧ⊥平面PAE.于是为直线ＰＢ与平面PAE所成的角，且.由知，为直线与平面所成的角.由题意，知因为所以由所以四边形是平行四边形，故于是在中，所以　　　　　　　于是又梯形的面积为所以四棱锥的体积为　　　　　　　　　14解法2：如图（2），以A为坐标原点，所在直线分别为建立空间直角坐标系.设则相关的各点坐标为：（Ⅰ）易知因为

3、所以而是平面内的两条相交直线，所以(Ⅱ)由题设和（Ⅰ）知，分别是，的法向量，而PB与所成的角和PB与所成的角相等，所以由（Ⅰ）知，由故解得.又梯形ABCD的面积为，所以四棱锥的体积为.143.已知数列的前n项和Sn满足:为常数,且)(n)(1)求数列的通项公式;(2)设，若数列为等比数列,求的值。4.（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且.（Ⅰ）求；（Ⅱ）设，求数列的通项公式。4.解：（1）由已知，即，………………3分又，即；……………………6分（2）当时，，即，易知数列各项不为零（注：可不证不说），对恒成立，是首项为，公比为-的等

4、比数列，……………………10分，，即.…………………………12分5.在中,角A、B、C的对边分别为、、，已知向量、14，且．（1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值．解：（1）∵∴由正弦定理可得，即整理可得．（5分）∵0＜＜，＞0，∴∴；（7分）（2）由余弦定理可得,，即，故．（9分）故ΔABC的面积为当且仅当时,ΔABC面积取得最大值．6.设函数（I）求函数的最小正周期；（II）设函数对任意，有，且当时，；求函数在上的解析式。解：（I）函数的最小正周期（2）当时，当时，当时，得：函数在上的解析式为7.甲，乙，丙三个同学同时报名参加某

5、重点高校2012年自主招生．高考前自主招生的程序为审核材料和文化测试，只有审核过关后才能参加文化测试，文化测试合格者即可获得自主招生入选资格．因为甲，乙，丙三人各有优势，甲，乙，丙三人审核过关的概率分别为0.5，0.6，0.4，审核过关后，甲，乙，丙三人文化测试合格的概率分别为0.6，0.5，0.75．14（1）求甲，乙，丙三人中只有一人通过审核的概率；（2）设甲，乙，丙三人中获得自主招生入选资格的人数为，求随机变量的期望．7.解：（1）分别记甲，乙，丙通过审核为事件，，，记甲，乙，丙三人中只有一人通过审核为事件，则……………………4分

6、（2）分别记甲，乙，丙三人中获得自主招生入选资格为事件，则，……………………………5分∴的可能取值为0、1、2、3，，…………………10分故随机变量的数学期望为.…12分8.（本题12分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（3）用X，Y分别表示这4个人中去参

7、加甲、乙游戏的人数，记ξ＝

8、X－Y

9、，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ.8.解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i＝0,1,2,3,4)，则P(Ai)＝Ci4－i.（1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率P(A2)＝C22＝.（2）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则B＝A3∪A4，由于A3与A4互斥，故P(B)＝P(A3)＋P(A4)＝C3＋C4＝.所以，这4个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为.（

10、3）ξ的所有可能取值为0,2,4.由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，故14P(ξ＝0)＝P(A2)＝，P(ξ＝2)＝P(A1)＋P(A3)＝，P(ξ＝4)＝P(A0)＋P(A4)＝.所以ξ的分布列是ξ02