莆田学院期末考试试卷

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1、莆田学院期末考试试卷（A）卷2007——2008学年第二学期课程名称：高等代数适用年级/专业：07数学与应用数学、信息与计算科学试卷类别开卷（）闭卷（√）学历层次本科考试用时120分钟《考生注意：答案要全部抄到答题纸上，做在试卷上不给分》一、填空题（每小题4分，共12分）1．已知,则的维数为①,此生成空间的一组基为②.2．已知是的一个基，由基，到基的过渡矩阵为①，向量关于基的坐标为②.3.设是3维欧氏空间V的一组基，这组基的度量矩阵为，则向量的长度为.二．（28分）已知二次型，通过某个正交线性替换可化为标准形，（1）写出二次型的矩阵A及A的特征多项式，并确定的值；（

2、2）求出作用的正交线性替换；（3）二次型是否正定？求出的正惯性指数。试卷第3页共4页三．（16分）已知复系数矩阵，（1）求矩阵的行列式因子、不变因子和初等因子；（2）求矩阵的若当标准形；（3）求矩阵的有理标准形。四．（16分）设是数域上的n维线性空间，为的两个子空间，并且，任取，设，定义变换：（1）证明：是上的线性变换且；（2）证明：；（3）证明：在某组基下的矩阵为，其中为r级单位矩阵，请指出r等于什么？五．（10分）设是线性空间V的一组基，是它的对偶基，，（1）证明：也是V的一组基；（2）用表出的对偶基。六．(8分)设是一个n维欧氏空间，为中的正交向量组，令（1）

3、证明：是的一个子空间；（2）证明：。试卷第3页共4页七．(10分)1、设是维欧式空间V的一个线性变换。证明：如果满足下列三个条件中的任意两个，那么它必然满足第三个：（i）是正交变换；（ii）是对称变换；（iii）是单位变换。2、若是一般欧式空间V上的线性变换，上述结论是否成立？（以下不要）七．(6分)设是两个实对称矩阵，且是正定矩阵。证明存在一实可逆矩阵，使得同时为对角形。四、设是全体次数不超过的实系数多项式，再添上零多项式组成的实数域上的线性空间，定义上的线性变换：试卷第3页共4页(1)写出线性变换在基下的矩阵；（4分）(2)求的核和值域；（6分）(3)证明：.（

4、6分）二、已知二次型，通过某个正交变换可化为标准形，(1)写出二次型对应的矩阵A及A的特征多项式，（4分）并确定的值（6分）；(2)求出作用的正交变换（8分）。试卷第3页共4页