除雪问题的数学模型

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1、除雪问题的数学模型除雪问题摘要：本文是针对除雪机清扫路面问题进行建模与求解分析，具体分析了降雪速度的变化对积雪淳度的直接影响及对除雪机除雪速度造成的间接影响。模型I:分为三种情况1、降雪的速度始终为降雪的最大速度即v=10A-3m/s；2、降雪的速度开始为最大速度v=10A-3m/s，之后降雪速度以线性关系递减；3、降雪速度先从0开始以线性关系递增至最人速度v=10A-3m/s,再以线性关系递减至0。模型II:通过建立降雪速度和积雪厚度的微分方程模型，得出降雪时间与积雪厚度的函数关系，进而求得除雪机无法工作时的降雪强度系数。关键词：降雪强度系数降雪速度积雪厚度除雪速度

2、微分方程问题重述：冬天，一台除雪机负责清除10km长的一条公路上的积雪。一般当公路面积雪达0.5米时，除雪机就开始工作。如果开始除雪后降雪仍然继续，随着路面积雪的加厚，除雪机工作的速度将逐渐降低。当积雪达1.5m时除雪机将不能行动，被迫中止工作。显然降雪速度的大小直接影响着除雪机的工作。那么，在雪天，除雪机是否能顺利完成10公里长的路面的除雪工作？当降雪多大时除雪机将无法继续进行工作？我们可以了解到的情况和有关数据如下：(1)除雪机开始工作后降雪开始持续一个小时。(2)降雪速度可能随时间变化，最大时积雪的增加量是0.1cm/s。(3)积雪厚度达到1.5m时除雪机将无法

3、进行工作。(4)除雪机在无雪的路妞上行驶的速度是lOm/s。问题分析：对该问题的分析有，首先是考虑降雪的速度是多少，降雪的快慢影响着积雪厚度。当雪达到一定的厚度时除雪机将无法正常工作，积雪厚度也影响着除雪的进度。由此可知除雪的进度是受多方面因素影响，通过找出降雪速度和积雪厚度的关系，除雪进度和积雪厚度的关系进行更进一步的分析。问题假设：1、总共下丫一小时的雪。2、下雪的速度是变化的，但下得最大时地面上雪深度的增加量为0.1cm/so3、当雪的深度达到1.5m时除雪机将无法工作。4、在没有雪的路面上，除雪机的行驶速度为lOm/s。5、不考虑积雪的融化，除雪机的功率有限。

4、符号说明：模型的建立与求解：模型I:铲雪机在无雪的路面上行驶的速度是10m/s,而在积雪厚度H达到1.5m时铲雪机将无法进行工作，可以认为铲雪机无法工作时铲雪机的工作速度为Om/s;根据上述关系，建立如下方程：H?kVC?b(b为常数)H?0;1.5VC?1O;O得VC?1.5?H0.15情景一：图一除雪速度与积雪厚度的函数关系假设：降雪速度为匀速Vs=O.lcm/s,除雪机的速度VC和积雪的厚度H成线性关系，在积雪的厚度为h=0.5m时，除雪机幵始工作，将除雪机开始工作的时间记为零时刻，于是积雪的厚度与时间的关系为：H?0.5?10?3tc(0?tc?3100)注:

5、当除雪机开始工作即积雪厚度h?0.5m时，降雪吋间ts?所以得出tc的范建立积雪厚度与除雪车速度的关系：VC?20tc?,其图像如图二所示3150h0.5??3?500s,VslO图二积雪厚度与除雪车速度的图像当Vc为零时，所得tc=1000s则S=?10000Vcdtc=3.33?103m

6、0)以降雪速度VS?10?，此时积雪厚度H?0.5?Sc23100?3(0?tc?3100)，由模型I得VC?1.5?H0.1511.5?(0.5?Vstc),如图三所示：Vc?0.15图三除雪车速度与积雪厚度关系H?0.5?VStc令H=1.5;解得tc?1550.-1948.72i或tc?1550.?1948.72i。无2实根所以积雪厚度不可能达到1.5m乂由图像看出vc?0,所以在假设a的情景下能完成10公里长的路的除雪工作。10?3b、降雪速度的初始速度为VS?10m/s，之后以降雪强度a2?—直衰减，3600?3Vtl0?3ts(0?ts?3600)又H?S

7、s然后画出积雪厚度此时降雪速度VS?10?23600?3关于降雪时间的图像如图四所示：图四积雪厚度与降雪时间的关系由图像可以看出H<1.5m,所以在假设b的情景下能完成10公里长的路的除雪工作。情景三:假设：在这一个小时之降雪的初始速度为Om/s，之后速度逐渐递增至VS?10?3m/s,以此速度持续一段时间后逐渐递减为Om/s.在此基础上做出降雪速度随时间变化的草图如图五：图五降雪速度随时间变化的草图10?310?3再降雪速度达到VI之前，降雪强度系数a3?，Vl?ts,降雪速度当达tltl10?310?3到V2后降雪强度系数a4?,V2?(ts?t