5、机器人动力学.pdf

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1、机器人学战强北京航空航天大学机器人研究所第五章、机器人动力学∑机器人动力学是研究机器人的运动和作用力之间的关系。机器人动力学的用途：∑机器人的最优控制；优化性能指标和动态性能、调整伺服增益；∑设计机器人：算出实现预定运动所需的力/力矩；∑机器人的仿真：根据连杆质量、负载、传动特征的动态性能仿真。机器人是一个具有多输入和多输出的复杂的动力学系统，存在严重的非线性，需要非常系统的方法来处理。¾动力学的原问题：给定力/力矩，求解机器人的运动；是非线性的微分方程组，求解困难。¾动力学的逆问题：已知机器人的运动，计

2、算相应的力/力矩，即实现预定运动所需施加的力矩；不求解非线性方程组，求解简单。动力学方法很多，如Lagrange、Newton-Euler、Gauss、Kane、Screw、Roberson-Wittenburg。5.1Lagrange动力学方法Lagrange法：能以最简单的形式求得非常复杂的系统动力学方程，而且具有显式结构。Lagrange函数L定义：任何机械系统的动能Ek和势能Ep之差L=E−Ekp动能和势能可以用任意选取的坐标系来表示，不局限于笛卡儿坐标假设机器人的广义坐标为qi,i=,2,1L,

3、nd∂L∂L则该机械系统的动力学方程为：fi=•−（5-1）dt∂q∂qiiq是直线坐标，f是力；⎫d∂L∂Lii广义力f=−⎬i•qi是角度坐标，fi是力矩⎭dt∂q∂qii广义速度将L=E−E代入到（5-1）式中：kpd∂Ek∂Ekd∂Ep∂Epf=(−)−(−)i••dt∂qdt∂q∂qi∂qiii•由于势能E不显含q，i=,1L,n，Lagrange动力学方程也可写成：pid∂Ek∂Ek∂Epf=−+（5-2）i•dt∂q∂q∂qiii例：图示R-P机器人，求其动力学方程。rm1、质心的位置和速度

4、2为了写出连杆1和连杆2（质量r1m1和m2）的动能和势能，需要Ym1θ知道它们的质心在共同的笛卡X儿坐标系中的位置和速度。笛卡儿⎧x=rcosθ11质心m1的位置是⎨r1∈CCartesian(Latin)[ka:’ti:zjən]y=rsinθ⎩11Descartes[dei’ka:t]:••⎧法国哲学家、数学家、物⎪x=−rsinθθ11速度是⎨••理学家，1596-1650，将笛⎪y=rcosθθ⎩11卡尔坐标体系公式化而被•••2速度的模方是v2=x2+y2=r2θ认为是解析几何之父。1111⎧

5、x=rcosθ2质心m2的位置是⎨r∉Cy=rsinθ⎩2⎧•••⎪x=rcosθ−rsinθθ速度是⎨2•••⎪y=rsinθ+rcosθθ⎩2•2•2•2•222速度的模方是v=x+y=r+rθ2222、机器人的动能和势能12质量为m，速度为v的质点的动能定义为E=mvk2⎧11•222连杆1和2的动能⎪⎪Ek1=m1v1=m1r1θ为⎨22质量m,m的动能11•2•212⎪E=mv2=m[r+r2θ]⎪k2222⎩221•21•21•222机器人的总动能为E=E+E=mrθ+mr+mrθkk1k21

6、122222质量为m，高度为h的质点的势能定义为E=mghp⎧E=mgrsinθp111连杆1和2的势能为⎨E=mgrsinθ⎩p22机器人的总势能为E=E+E=mgrsinθ+mgrsinθpp1p21123、机器人的动力学方程根据式5-2，分别计算关节1和关节2上的力/力矩1•21•21•222机器人的总动能为E=mrθ+mr+mrθk1122222机器人的总势能为E=mgrsinθ+mgrsinθp112关节1上的作用力d∂Ek∂Ek∂Epf=−+1•dt∂q∂q∂q111⎛⎞d⎜••⎟22()=m

7、rθ+mrθ−0+gcosθmr+gcosθmr⎜112⎟112dt⎜⎟⎝⎠••••••22=mrθ+mrθ+2mrrθ+gcosθ(mr+mr)1122112关节1是转动关节，所以f是转矩，即1••••22τ=(mr+mr)θ+2mrrθ+gcosθ(mr+mr)11122112加速度部分速度部分位置部分关节2上的作用力••2f=mr−mrθ+mgsinθ2222该方程关节2是移动关节，所以f是作用力2表示关节上的该R-P机器人的动力学方程为：作用力••••••与各连22f=mrθ+mrθ+2mrrθ+

8、gcosθ(mr+mr)11122112杆运动••2之间的f=mr−mrθ+mgsinθ2222关系4、Lagrange动力学方程的一般形式••••••22f=mrθ+mrθ+2mrrθ−gcosθ(mr+mr)11122112••2f=mr−mrθ+mgsinθ2222•••••2•2••••f=Dθ+Dr+Dθ+Dr+Dθr+Dθr+D111121111221121211•••••2•2••••f=Dθ+Dr+Dθ+Dr+