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1、初中数学竞赛辅导资料（45）一元二次方程的根甲内容提要1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根，是由它的系数a, b, c的值确定的. 根公式是：x=. (b2－4ac≥0)2.根的判别式①实系数方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根的充分必要条件是：b2－4ac≥0.②有理系数方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理数根的判定是：b2－4ac是完全平方式方程有有理数根. ③整系数方程x2+px+q=0有两个整数根p2－4q是整数的平方数.3.设x1, x2是ax2+bx+c=0的两个实数根，那么①ax12
2、+bx1+c=0 (a≠0，b2－4ac≥0)，ax22+bx2+c=0 (a≠0，b2－4ac≥0)；②x1=， x2= (a≠0, b2－4ac≥0)；③ 韦达定理：x1+x2=, x1x2=(a≠0, b2－4ac≥0).4.方程整数根的其他条件整系数方程ax2+bx+c=0 (a≠0)有一个整数根x1的必要条件是：x1是c的因数. 特殊的例子有： C=0x1=0， a+b+c=0x1=1， a－b+c=0x1=－1.乙例题例1.已知：a, b, c是实数，且a=b+c+1.求证：两个方程x2+x+b=0与x2+ax+c
3、=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.（1990年泉州市初二数学双基赛题）证明 （用反证法）设 两个方程都没有两个不相等的实数根，那么△1≤0和△2≤0.即由①得b≥，b+1≥代入③，得a－c=b+1≥， 4c≤4a－5④②＋④：a2－4a+5≤0，即（a－2）2+1≤0，这是不能成立的.既然△1≤0和△2≤0不能成立的，那么必有一个是大于0.163∴方程x2+x+b=0与x2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.本题也可用直接证法：当△1＋△2＞0时，则△1和△2中至少有一个是正数.例1.已知首项系数不相等的
4、两个方程： （a－1）x2－(a2+2)x+(a2+2a)=0和(b－1)x2－(b2+2)x+(b2+2b)=0(其中a,b为正整数)有一个公共根. 求a, b的值.（1989年全国初中数学联赛题）解：用因式分解法求得：方程①的两个根是 a和； 方程②两根是b和.由已知a>1, b>1且a≠b. ∴公共根是a= 或b=. 两个等式去分母后的结果是一样的.即ab－a=b+2,ab－a－b+1=3,(a－1)(b－1)=3. ∵a,b都是正整数， ∴ ； 或.解得； 或.又解： 设公共根为x0那么 先消去二次项：①×（
5、b－1）－②×（a－1） 得［－（a2+2）(b－1)+(b2+2)(a－1)］x0+(a2+2a)(b－1)－(b2+2b)(a－1)=0. 整理得 （a－b）(ab－a－b－2)(x0－1)=0.∵a≠b ∴x0＝1； 或 (ab－a－b－2)＝0.当x0＝1时，由方程①得 a=1, ∴a－1=0，∴方程①不是二次方程. ∴x0不是公共根. 当(ab－a－b－2)＝0时， 得(a－1)(b－1)=3 ……解法同上.例3. 已知：m, n是不相等的实数，方程x2+mx+n=0的两根差与方程y2+ny+m=0的两根
6、 差相等.求：m+n 的值. （1986年泉州市初二数学双基赛题）解：方程①两根差是＝＝＝同理方程②两根差是 ＝163依题意，得＝.两边平方得：m2－4n=n2－4m. ∴（m－n）(m+n+4)=0 ∵m≠n， ∴ m+n+4＝0， m+n＝－4.例4. 若a, b, c都是奇数，则二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有有理数根. 证明：设方程有一个有理数根（m, n是互质的整数）.那么a()2+b()+c=0, 即an2+bmn+cm2=0.把m, n按奇数、偶数分类讨论，∵m, n互质
7、，∴不可能同为偶数. ① 当m, n同为奇数时，则an2+bmn+cm2是奇数＋奇数＋奇数＝奇数≠0； ② 当m为奇数, n为偶数时，an2+bmn+cm2是偶数＋偶数＋奇数＝奇数≠0；③当m为偶数, n为奇数时，an2+bmn+cm2是奇数＋偶数＋偶数＝奇数≠0.综上所述 不论m, n取什么整数，方程a()2+b()+c=0都不成立. 即 假设方程有一个有理数根是不成立的.∴当a, b, c都是奇数时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有有理数根.例5. 求证：对于任意一个矩形A，总存在一个矩形B，使得矩形B与矩形A
8、的周长比和面积比都等于k (k≥1). （1983年福建省初中数学竞赛题）证明：设矩形A的长为a, 宽为b，矩形B的长为c, 宽为d. 根据题意，得 .∴c+d=(a+b)k, cd=abk. 由韦达定理的逆定
