工程力学教案10

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1、10组合变形的强度计算本章主要研究组合变形的概念、斜弯曲和偏心拉伸（压缩）的强度计算、截面核心。本章提要10组合变形的强度计算教学目的和要求：1.理解剪切与挤压的概念并会计算2.理解圆轴扭转的概念与强度计算3.掌握刚度条件及其应用重难点：重点：刚度条件及其应用难点：圆轴扭转的概念与强度计算本章内容10.1组合变形的概念10.2斜弯曲10.3偏心压缩（拉伸）10.4截面核心10.1组合变形的概念在实际工程中，构件的受力情况是复杂的，构件受力后的变形往往不仅是某一种单一的基本变形，而是由两种或两种以上的基本变形组合而成的复杂变形，称为组合变形。例如，图10.1(a)所示的屋架檩条

2、；图10.1(b)所示的空心墩；图10.1(c)所示的厂房支柱，也将产生压缩与弯曲的组合变形。10.1.1组合变形的概念图10.1解决组合变形强度问题，分析和计算的基本步骤：首先将构件的组合变形分解为基本变形；然后计算构件在每一种基本变形情况下的应力；最后将同一点的应力叠加起来，便可得到构件在组合变形情况下的应力。试验证明，只要构件的变形很小，且材料服从虎克定律，由上述方法计算的结果与实际情况基本上是符合的。10.1.2组合变形的解题方法10.2斜弯曲对于横截面具有对称轴的梁，当横向力作用在梁的纵向对称面内时，梁变形后的轴线仍位于外力所在的平面内，这种变形称为平面弯曲。如果

3、外力的作用平面虽然通过梁轴线，但是不与梁的纵向对称面重合时，梁变形后的轴线就不再位于外力所在的平面内，这种弯曲称为斜弯曲。如图10.2(a)所示的矩形截面悬臂梁，集中力P作用在梁的自由端，其作用线通过截面形心，并与竖向形心主轴y的夹角为φ。将力P沿截面两个形心主轴y、z方向分解为两个分力，得Py=PcosφPz=Psinφ分力Py和Pz将分别使梁在xOy和xOz两个主平面内发生平面弯曲。10.2.1外力的分解图10.2在距自由端为x的横截面上，两个分力Py和Pz所引起的弯矩值分别为Mz=Py·x=Pcosφ·x=McosφMy=Pz·x=Psinφ·x=Msi

4、nφ该截面上任一点K(y，z)，由Mz和My所引起的正应力分别为σ′=Mz·y/Iz=yMcosφ/Izσ″=My·z/Iy=zMsinφ/Iy10.2.2内力和应力的计算根据叠加原理，K点的正应力为σ=σ′+σ″=Mz·y/Iz+My·z/Iy=M(ycosφ/Iz+zsinφ/Iy)式中Iz和Iy分别是横截面对形心主轴z和y的惯性矩。正应力σ′和σ″的正负号，可通过平面弯曲的变形情况直接判断，如图10.2(b)所示，拉应力取正号，压应力取负号。图10.2因为中性轴上各点的正应力都等于零，设在中性轴上任一点处的坐标为y0和z0，将σ=0代入式(10.1)，有

5、σ=M(y0cosφ/Iz+z0sinφ/Iy)=0则y0cosφ/Iz+z0sinφ/Iy=0上式称为斜弯曲时中性轴方程式。10.2.3中性轴的位置从中可得到中性轴有如下特点：(1)中性轴是一条通过形心的斜直线。(2)力P穿过一、三象限时，中性轴穿过二、四象限。反之位置互换。(3)中性轴与z轴的夹角α(图10.2(c))的正切为tanα=｜y0/z0｜=Iz/Iytanφ从上式可知，中性轴的位置与外力的数值有关，只决定于荷载P与y轴的夹角φ及截面的形状和尺寸。图10.2进行强度计算，首先要确定危险截面和危险点的位置。危险点在危险截面上离中性轴最远的点处

6、，对于工程上常用具有棱角的截面，危险点一定在棱角上。图10.2(a)所示的悬臂梁，固定端截面的弯矩值最大，为危险截面，该截面上的B、C两点为危险点，B点产生最大拉应力，C点产生最大压应力。若材料的抗拉和抗压强度相等，则斜弯曲的强度条件为σmax=Mzmax/Wz+Mymax/Wy≤［σ］10.2.4强度条件对于不同的截面形状，Wz/Wy的比值可按下述范围选取：矩形截面：Wz/Wy=h/b=1.2～2；工字形截面：Wz/Wy=8～10；槽形截面：Wz/Wy=6～8。【例10.1】跨度l=4m的吊车梁，用32a号工字钢制成，材料为A3钢，许用应力［σ］=160MPa。作用在梁

7、上的集中力P=30kN，其作用线与横截面铅垂对称轴的夹角φ=15°，如图10.3所示。试校核吊车梁的强度。【解】(1)荷载分解将荷载P沿梁横截面的y、z轴分解Py=Pcosφ=30cos15°kN=29kNPz=Psinφ=30sin15°kN=7.76kN(2)内力计算吊车荷载P位于梁的跨中时，吊车梁处于最不利的受力状态，跨中截面的弯矩值最大，为危险截面。该截面上由Py在xOy平面内产生的最大弯矩为Mzmax=Pyl/4=29×4/4kN·m=29kN·m该截面上