内切球与外接球习题讲义教师版.doc

内切球与外接球习题讲义教师版.doc

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1、立体几何中的“内切”与“外接”问题的探究1球与柱体规则的柱体,如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合,以外接和内切两种形态进行结合,通过球的半径和棱柱的棱产生联系,然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.1.1球与正方体如图1所示,正方体,设正方体的棱长为,为棱的中点,为球的球心。常见组合方式有三类:一是球为正方体的内切球,截面图为正方形和其内切圆,则;二是与正方体各棱相切的球,截面图为正方形和其外接圆,则;三是球为正方体的外接球,截面图为长方形和其外接圆,则.通过这三种类型可以发现,解决正方体与球的组合问题,常用工具是截面图,

2、即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面,通过两个截面图的位置关系,确定好正方体的棱与球的半径的关系,进而将空间问题转化为平面问题。例1棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上,分别是棱,的中点,则直线被球截得的线段长为()A.B.C.D.1.2球与长方体长方体各顶点可在一个球面上,故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为其体对角线为.当球为长方体的外接球时,截面图为长方体的对角面和其外接圆,和正方体的外接球的道理是一样的,故球的半径例2在长、宽、高分别为2,2,4的长方体内有一个半径为1的球,任意摆动此长方体,则球经过的空

3、间部分的体积为()A.B.4πC.D.1.3球与正棱柱球与一般的正棱柱的组合体,常以外接形态居多。下面以正三棱柱为例,介绍本类题目的解法——构造直角三角形法。设正三棱柱的高为,底面边长为,如图2所示,和分别为上下底面的中心。根据几何体的特点,球心必落在高的中点,,借助直角三角形的勾股定理,可求。7例3正四棱柱的各顶点都在半径为的球面上,则正四棱柱的侧面积有最值,为.2球与锥体规则的锥体,如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合,以外接和内切两种形态进行结合,通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系,然后考查几何体的体积或者表面积

4、等相关问题.2.1球与正四面体正四面体作为一个规则的几何体,它既存在外接球,也存在内切球,并且两心合一,利用这点可顺利解决球的半径与正四面体的棱长关系。如图4,设正四面体的棱长为,内切球半径为,外接球的半径为,取的中点为,为在底面的射影,连接为正四面体的高。在截面三角形,作一个与边和相切,圆心在高上的圆,即为内切球的截面。因为正四面体本身的对称性可知,外接球和内切球的球心同为。此时,则有解得:这个解法是通过利用两心合一的思路,建立含有两个球的半径的等量关系进行求解.同时我们可以发现,球心为正四面体高的四等分点.如果我们牢记这些数量关系,可为

5、解题带来极大的方便.例4将半径都为1的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体的高的最小值为()A.B.2+C.4+D.球的外切正四面体,这个小球球心与外切正四面体的中心重合,而正四面体的中心到顶点的距离是中心到地面距离的3倍.]2.2球与三条侧棱互相垂直的三棱锥7球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合问题,主要是体现在球为三棱锥的外接球.解决的基本方法是补形法,即把三棱柱补形成正方体或者长方体。常见两种形式:一是三棱锥的三条棱互相垂直且相等,则可以补形为一个正方体,它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心。如图5,三棱锥的外接球的球

6、心和正方体的外接球的球心重合,设,则。二是如果三棱锥的三条侧棱互相垂直且不相等,则可以补形为一个长方体,它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心,(为长方体的体对角线长)。例5在正三棱锥中,分别是棱的中点,且,若侧棱,则正三棱锥外接球的表面积是。2.3球与正棱锥球与正棱锥的组合,常见的有两类,一是球为三棱锥的外接球,此时三棱锥的各个顶点在球面上,根据截面图的特点,可以构造直角三角形进行求解.二是球为正棱锥的内切球,例如正三棱锥的内切球,球与正三棱锥四个面相切,球心到四个面的距离相等,都为球半径.这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离,

7、故可采用等体积法解决,即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积.例6在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=,侧棱PA与底面ABC所成的角为60°,则该三棱锥外接球的体积为()A. B. C.4 D.2.4球与特殊的棱锥球与一些特殊的棱锥进行组合,一定要抓住棱锥的几何性质,可综合利用截面法、补形法、等进行求解。例如,四面体都是直角三角形的三棱锥,可利用直角三角形斜边中点几何特征,巧定球心位置。7如图8,三棱锥,满足面,,取的中点为,由直角三角形的性质可得:,所以点为三棱锥的外接球的球心,则.例7矩形中,沿将矩形折成一个直二面角,则四面体的外接

8、球的体积是()A.B.C.D.3球与球对个多个小球结合在一起,组合成复杂的几何体问题,要求有丰富的空间想象能力,解决本类问题需掌握恰当的处理手段,如准确确定各个小球的球心的位置关

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