苏科版九上 二次根式 经典答疑1

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1、二次根式经典答疑（一）【学法旨要】1．本章的学习目标是什么？(1)了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式与同类二次根式．(2)掌握积与商的算术平方根的性质：会利用这两个性质熟练地化简二次根式．(3)掌握二次根式的加、减、乘、除的运算法则，会用它们进行运算．(4)会将分母中含有一个二次根式的式子进行分母有理化．(5)掌握二次根式的性质会利用化简二次根式．学有余力的同学还应该达到以下目标：理解n次根式的概念及其性质；会化简简单的双重根式；掌握比较两个或两个以上较复杂二次根式大小的特殊方法；能解决含有根式的较复杂的代数式的求值问题等．2．学习本章有关

2、键是什么？正确理解与运用二次根式的概念与性质是学好本章的关键．二次根式与算术平方根有着密切的联系．要充分理解二次根式的意义，必须弄清算术平方根的概念．例如是３的算术平方根，也就是．推广到一般，可得．要特别注意０这一限制条件，即二次根式的被开方数必须是非负数．再者，表示a的算术平方根，所以也一定非负．二次根式的性质是二次根式化简和运算的重要基础．必须强调，积的算术平方根和商的算术平方根都是对算术根而言的，并且要避免错误迁移．运用公式可以把根号内非负因式外移．反过来，利用公式还可以把根号外非负因式内移．这里必须明确，所内移或外移的必须是非负因式．同时要注意，只有被开方数是积的

3、形式时才能进行，要避免出现下面的错误： 【经点答疑】１．怎样理解二次根式的概念？一般地，式子叫做二次根式．其中，“”叫二次根号，二次根号下的数a叫做被开方数．可以从以下两方面来理解这个概念：(1)二次根式是指非负数a的算术平方根，因此是一个非负数，即(2)二次根式中被开方数a可以是数也可以是代数式．如果a是数，必须是非负数；如果a是代数式，则这个代数式的值必须是非负数．因为负数没有平方根，所以当a<0时，没有意义．如，都是二次根式，而就不是二次根式．例１下列各式：，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？思路启迪：判断一个式子是不是二次根式，首先看它是否含有根号；其次看根指数是

4、不是2；最后看被开方数是不是非负数．若三个答案都是肯定的，那么这个式子是二次根式．不满足三个条件中的任何一个，就不是二次根式．规范解法都是二次根式，因为它们都含有二次根号，且被开方数都是非负数．虽然含有根号，但根指数不是2，所以不是二次根式．中，不能确定被开方数是非负数，当a<0时，无意义；当时，无意义，所以不一定是二次根式．不是二次根式．点评：满足二次根式的条件有三个：①含有根号②根指数是2③被开方数是非负数，三个条件缺一不可．例2x是怎样的实数时，下列式子有意义？思路启迪：要使二次根式有意义，必须使被开方数为非负数．对于(1)、（2）、(3)题只要使被开方数非负就可以

5、了，对于(4)题不但要使被开方数非负，而且要使分母不等于零．规范解法2．如何巧妙运用二次根式的非负性解题？例思路启迪：两个非负数的和等于零，则这两个数都等于零，从而得到再由零的算术平方根等于零求得a、b的值．规范解法点评解此题的关键是：①利用二次根式的非负性；②根据几个非负数的和等于零，则这几个数都等于零，将问题转化为解方程组的问题．注初中阶段，课本中出现的三种非负数已全部学完．这三种负数是：实数的绝对值；实数的偶次方；非负数的算术平方根．利用非负数的意义求值，是解代数式求值问题常用的方法之一．3．怎样运用二次根式的性质？二次根式的基本性质是由非负数a的算术平方根的意义得

6、到的．利用，可以把二次根式化简．如计算反过来，利用，可以把任何一个非负数或非负式子写成完全平方形式，如例1计算：思路启迪：规范解法例2思路启迪：仍可分解．规范解法点评根据因式分解的意义，在实数范围内进行因式分解，其结果必须是几个整式的的积．对于，不能再分解成，4．积与商的算术平方根有什么性质？根据算术平方根的概念可以得到如下性质：(1)积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．即(2)商的算术平方根等于被除式的算术平方根，除以除式的算术平方根．即因为二次根式就是a的算术平方根的表示式，所以上述算术平方根的两个性质就是二次根式的性质．这两个性质依赖于这两个非负性．因此

7、在应用性质时，一定要注意：．因为在以上两式中，没有意义．根据二次根式的性质，以上两式的正确写法是：另外，公式中a、b既可以表示数，也可以表示代数式，但都必须是非负数．积的算术平方根的性质，还可以推广到多个非负数的情况．如注由积与商的算术平方根，有的同学可能会自己类比推得和与差的算术平方根：但这些等式都不成立的．例如一般地，5．积的算术平方根的性质有哪些应用？(1)化简二次根式如果一个二次根式的被开方数中有的因式(或因数)能开得尽方，可以利用积的算术平方根的性质和公式将这些因式(或因数)开出来，从而将二次根式化简．例1化简：思路