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时间:2018-10-12
《全国初中数学竞赛辅导(初2)第27讲 列方程解应用问题中的量与等量》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、第二十七讲列方程解应用问题中的量与等量 列方程解应用问题时,比较困难的一环常常是同学们不知如何着手去找等量关系.又由于应用问题类型繁多,等量关系千变万化,什么工程问题,行程问题,浓度问题,等等,如果每一种问题都来考查一下找等量关系的规律,这不仅太繁杂,而且罗列也不是真正的概括.那么根据什么原则来找出应用问题中的等量关系、列出方程呢? 为此,我们必须先对“量”做个基本的分析和介绍,只有对量有了比较明确的认识,才便于了解“等量”,那么找等量关系也就有了依据.所谓“量”就是表现物体属性的一个侧面.例如拿一根金属棒来说,为了
2、弄清它的性状,就要知道这根金属棒的重量、长度、体积、密度、比重、价格,等等,这些方面都是从一定的侧面来表现物体不同属性的,这就是所谓的量. 一般说来,常用的量基本上可以分为两大类.例如,一群羊、一堆蛋等,因为它们具有天然的个别单位,所以处理这种量只要数一数它们的个数1,2,3,…就可以了.这种量我们称它为分离量,分离量的特点是可数的.另一种量,例如一根绳子的长度,一桶水的重量等,长度和重量这种量虽然不具有天然的个别单位可数,但这种量的基本特点是它们可以无限细分,因此我们可以选取人为的单位去度量它们.比如,度量长度,我们
3、可以选用米或厘米作为长度单位;度量重量,我们可以选用千克或克等作为重量单位.取定了度量单位之后,就可以度量这种量的多少了.我们称这种量为连续量,它的一个基本特点是可以度量. 在连续量之中,例如长度、面积、体积、重量、时间等等,这些量既可以细分又可以广延,我们称这种量为外延量.连续量中的另一类是由两种外延量之比产生出来的,用以表示“强度”,这种量称为内涵量.例如表示单位面积上承受多少压力的“压强”就是一个内涵量.这是因为 它是由两种外延量(压力和面积)之比得来的. 如果把内涵量再分类,又可以分为两种,其中一种是由不同
4、种外延量之比产生的量,我们称它为度.例如 等等都是度. 另外一种内涵量是由两个同种外延量之比得来的,我们称它为率.例如 等等都是率. 这样,可以把常见的量的分类归纳如下: 我们对量有了一定的了解之后,从量的种类入手,找等量关系,就有了可以遵循的基本原则和方法了. 第一,因为分离量不能和连续量相等,外延量不能和内涵量相等,度不能和率相等,因此,等量关系只能在同种量中寻找,即分离量=分离量,外延量=外延量,度=度,率=率. 第二,因为分离量和外延量是可加的,所以如果要确定分离量或外延量的某种相等关系,便可以利用
5、“全量=部分量之和”(它的推理是“部分量=全量的一部分量”,“部分量之和=部分量之和”,特例是“全量=全量”)的原则. 第三,因为度和率是两种外延量之比,如果要确定的是度或率的某种相等关系,只须找到同一个度或率的两种不同表达式,然后用等号连接起来就可以列出方程了.我们把这种思考方法叫作度或率的等比表示法. 下面通过几个实例来说明上述原则和方法的运用. 例1设A,B两地相距82千米(km),甲骑自行车由A向B驶去,9分钟(min)后,乙骑自行车由B出发以每小时比甲快2千米的速度向A驶去,两人在距B地40千米处相遇,问
6、甲乙的速度各是多少? 分析与解首先我们列出题中的各种已知量和待求的量: (1)A,B两地的距离是82千米; (2)甲乙两人相向而行,甲比乙先行9分钟; (3)每小时乙比甲多走2千米; (4)两人相遇地点距B地40千米; (5)求甲乙的速度. 其次,就要设一个适当的未知量,并把它看作“已知量”,根据题中所给的条件,把已知量和未知量联系起来,找等量关系列方程.为此,我们可有不同的思考方法. 第一,可以从外延量考虑等量关系.本题中,时间、距离都是外延量.比如,我们考虑时间这个外延量,那么如何找出本题中有关时间的
7、一个等量关系呢?因为甲乙中途相遇,那么自然要问甲由A出发到与乙相遇走了多少时间?乙由B出发到与甲相遇走了多少时间?这两者又有什么关系?联系已知条件,利用全量=部分量之和可知 甲由A出发到遇到乙的时间=乙由B出发到遇到甲的时间+9分钟,① 又考虑到 如果设甲的速度为x千米/小时(km/h),那么乙的速度为(x+2)千 ②的解是x=30千米(方程②的解法留给读者),所以甲的速度是每小时行30千米,乙的速度是每小时32千米. 第二,也可以从内涵量找等量关系.在本题中,速度就是个内涵量,以速度来找等量关系,就是寻找甲
8、的速度和乙的速度之间的关系问题.由已知条件可知,乙每小时比甲多走2千米,即甲的速度=乙的速度-2,③ 因此,如果设甲与乙相遇时正好走了x小时,那么乙遇甲时走了 时.由③式,可知甲的速度的另一种表示法是乙的速度-2,即 乙的速度为32(千米/小时). 在以上两种找等量关系的思考方法中,第一种方法,
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