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时间:2018-10-13
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1、一道可以秒杀的难题河北省南宫市段芦头中学:刘保才邮编:055750联系电话:15097942651QQ:591267661一个长方体小盒,(如图示)长AB=4厘米、宽BC=5厘米、高BF=3厘米,一只小蚂蚁从长方体的顶点A出发,经长方体表面爬到与之相对的顶点G,小蚂蚁经过的最短路程是多少?解析:这是一类常见的曲面转平面的问题,要想解决此类问题我们通过某处变化,曲面变成平面,再利用“两点之间线段最短”这一公理来解决问题。例如:我们可以把矩形EABF绕直线FB旋转至E/A/BF,使其与矩形GCBF在同一平面内,线段GA/就是小蚂蚁要经过路径,我们可以利用勾股定理计算=(如图1所示),
2、思路进行到这里我们会发现类似的我们把矩形EFAB绕直线EF旋转至B/A/EF,使其与矩形GHEF在同一平面内,线段GA/就是小蚂蚁要经过路径,我们可以利用勾股定理计算=(如图2所示),两者相比较我们会发现第二种情况,路程更短,但是有没有其他情况呢?这里我们以高BF和宽EF为轴作了两种不同情况的变化,那么能不能以长为轴变化呢,经仔细观察后,我们把矩形ADCB绕直线BC旋转至A/D/CB,使其与矩形GFBC在同一平面内,线段GA/就是小蚂蚁要经过路径,我们可以利用勾股定理计算=(如图3所示),这样我们发现第三种情况比第二种情况更短,那么还有没有其他的情况呢?情况考虑的越多,我们的思想
3、越开扩反而对问题的答案更没有信心,经进一步考虑我们发现:同样是以“高”为轴的变化得到的情况是相同,同样是以“宽”为轴的变化得到的情况是相同,同样是以“长”为轴的变化得到的情况是相同,例如:把矩形EADH绕直线DH旋转至E/A/DH,使其与矩形GCDH在同一平面内,线段GA/就是小蚂蚁要经过路径,我们可以利用勾股定理计算=(如图4所示),此种变化与第一种情况相同,因为它们都是以“高”为轴作的变化,其他情况不再一一例举。我们总结一下,做此类题要分三种情况考虑,缺一不可。而在实际的教学过程中,此种题常见而学生掌握起来,出现这种情况,听老师讲明白,自己做起来有困难,明白知道三种情况而做题
4、时却往往找不全,这一现象引起了我的思考,能不能让学生们解决起来有个小窍门呢?首先我引导他们做了一个变化,我们突破数的限制用字母来表示长方体的长宽高,不妨设长为a、宽为b、高为c,那么以长为“轴”变化,得到的结果就是,以宽为“轴”变化,得到的结果就是,以高为“轴”变化,得到的结果就是,有了这一公式我们解决这一问题的过程,就简便多了,只需把数值代入求出三个结果一比较就好了,它省去了寻找的过程和画图的难度,问题思考到这一程度,我们还是不满足,经过进一步比较分析,我们发现=+2ab、=+2ac、=+2bc这三个量的大小取决于、ac、bc这三个乘积的大小,因为a、b、c在这里都表示正数,当
5、然“小数”与“中数”的积最小了,因此我们就得到了解决这个问题的终极武器,,也就是说,只需把长宽高,按大中小排好,代入秒杀公式就好了。图1图2图3图4
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