沈阳师范大学数学与系统科学学院高等代数第七章§9 最小多项式

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1、§9最小多项式一、最小多项式的定义二、最小多项式的基本性质由哈密尔顿―凯莱定理，是A的特征多项式，则因此，对任定一个矩阵，总可以找到一个多项式　　　　　使多项式f(x)以A为根.引入本节讨论，以矩阵A为根的多项式的中次数最低的那个与A的对角化之间的关系.此时，也称第七章线性变换§9最小多项式一、最小多项式的定义定义：设在数域P上的以A为根的多项为A的最小多项式.式中，次数最低的首项系数为1的那个多项式，称第七章线性变换§9最小多项式二、最小多项式的基本性质1.（引理1）矩阵A的最小多项式是唯一的.证：设都是A的最小多项式.由带余除法，可表成其中或于是有第七章线性变换§9最小多项式由最小

2、多项式的定义，即，同理可得，又都是首1多项式,故第七章线性变换§9最小多项式2.（引理2）设　　是矩阵A的最小多项式，则以A为根证：充分性显然，只证必要性由带余除法，可表成其中或于是有第七章线性变换§9最小多项式由最小多项式的定义，由此可知：若是A的最小多项式，则　　整除任何一个以A为根的多项式，从而整除A的特征多项式.即3.矩阵A的最小多项式是A的特征多项式的一个因子.第七章线性变换§9最小多项式例1、数量矩阵kE的最小多项式是一次多项式特别地，单位矩阵的最小多项式是　　　；零矩阵的最小多项式是.反之，若矩阵A的最小多项式是一次多项式，则A一定是数量矩阵.例2、求　的最小多项式.第七

3、章线性变换§9最小多项式解：A的特征多项式为又∴A的最小多项式为第七章线性变换§9最小多项式4.相似矩阵具有相同的最小多项式.证：设矩阵A与B相似，分别为它们的最小多项式.由A相似于B，存在可逆矩阵T,使从而也以B为根，同理可得从而又都是首1多项式，第七章线性变换§9最小多项式反之不然，即最小多项式相同的矩阵未必相似.如：的最小多项式皆为　　　　　　但A与B不相似.注：即所以，A与B不相似.第七章线性变换§9最小多项式5.（引理3）设A是一个准对角矩阵并设的最小多项式分别为.则A的最小多项式为的最小公倍式.证：记首先，即A为的根.第七章线性变换§9最小多项式所以　被A的最小多项式整除.

4、则从而其次，如果从而故为A的最小多项式.第七章线性变换§9最小多项式且的最小多项式为则A的最小多项式是为若A是一个准对角矩阵推广:特别地，若　　　　　　　　　两两互素，即则A的最小多项式是为第七章线性变换§9最小多项式6.（引理4）级若当块的最小多项式为证：J的特征多项式为第七章线性变换§9最小多项式而的最小多项式为第七章线性变换§9最小多项式6.（定理13）与对角矩阵相似的最小多项式是P上互素的一次因式的积.证：由引理3的推广，必要性显然.只证充分性.根据矩阵与线性变换之间的对应关系，设V上线性变换在某一组基下的矩阵为A，则则的最小多项式与A的最小多项式相同,设为第七章线性变换§9最

5、小多项式若为P上互素的一次因式的乘积：则其中把各自的基合起来就是V的一组基.从而A相似于对角矩阵.特征向量.所以,在这组基下的矩阵为对角矩阵.在这组基中，每个向量都属于某个，即是　的第七章线性变换§9最小多项式8.与对角矩阵相似的最小多项式没有重根.练习：求矩阵的最小多项式.解：A的特征多项式第七章线性变换§9最小多项式又的最小多项式为而作业EX27第七章线性变换§9最小多项式