2007年全国数学竞赛（浙江赛区）初赛试题

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1、2007年全国数学竞赛（浙江赛区）初赛试题（2007年3月11日　上午9∶00－11∶00）班级__________学号__________姓名______________得分______________一、选择题（共有8小题，每小题5分，满分40分）1．函数y＝－图象的大致形状是（　　）（A）　　　　　　（B）　　　　　　（C）　　　　　　（D）2．老王家到单位的路程是3500米，老王每天早上7∶30离家步行去上班，在8∶10（含8∶10至8∶20）之间到达单位，如果设老王步行的速度为x米/分，则老王步行的速度范围是

2、（　　）（A）70≤x≤87.5（B）x≤70或x≥87.5　（C）x≤70（D）x≥87.53．如图，AB是半圆的直径，弦AD，BC相交于P，已知∠DPB＝60º，D是的中点，则tan∠ADC等于（　　）（A）　　　（B）2　　　（C）　　　（D）4．抛物线y＝x2＋x＋p（p≠0）的图象与x轴一个交点的横坐标是p，那么该抛物线的顶点坐标是（　　）（A）（0，－2）（B）（，－）（C）（－，）（D）（－，－）5．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36º，CD是角平分线，则△DBC的面积与△ABC面积的比值是（　　）

3、（A）（B）（C）（D）6．直线l：y＝px（p是不等于0的整数）与直线y＝x＋10的交点恰好是格点（横坐标和纵坐标都是整数），那么满足条件的直线l有（　　）（A）6条（B）7条（C）8条（D）无数条7．把三个边续的正整数a，b，c按任意次序（次序不同视为不同组）填入□x2＋□x＋□＝0的三个方框中，作为一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，使所得方程至少有一个整数根的a，b，c（　　）（A）不存在（B）有一组（C）有两组（D）多于两组3325118．六个面上分别标有1，1，2，3，3，5六个数字的均匀立方体的

4、表现展开图如图所示，掷这个立方体一次，记朝上一面的数为平面直角坐标系中某个点的横坐标，朝下一面的数为该点的纵坐标．按照这样的规定，每掷一次该小立方体，就得到平面内一个点的坐标．已知小明前两次掷得的两个点确定一条直线l，且这条直线经过点P（4，7），那么他第三次掷得的点也在直线l上的概率是（　　）（A）（B）（C）（D）第9页二、填空题（有6小题，每小题5分，共30分）9．若a是一个完全平方数，则比a大的最小完全平方数是____________．10．按如图所示，把一张边长超过10的正方形纸片剪成5个部分，则中间小正方形

5、（阴影部分）的周长为____________．11．在锐角三角形ABC中，∠A＝50º，AB＞BC，则∠B的取值范围是_________________．12．设正△ABC的边长为a，将△ABC绕它的中心（正△ABC外接圆的圆心）旋转60º得到对应的△A´B´C´，则A，B´两点间的距离等于______________．13．如图，在平面直角坐标系内放置一个直角梯形AOCD．已知AD＝3，AO＝8，OC＝5，若点P在梯形内，且S△PAD＝S△POC，S△PAO＝S△PCD，那么点P的坐标是______________．

6、14．已知A，B，C，D四人的体重均为整数千克，其中A最轻，其次是B，C，D，以他们中的两人为一组称得的体重如下（单位：千克）：45，　49，　54，　55，　60，　64．则D的体重为__________千克．三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分）15．已知b－a＝，2a2＋a＝，求－a的值．第9页16．现有a根长度相同的火柴棒，按如图1摆放可摆成m个正方形，按如图2摆放时可摆成2n个正方形．（图1）　　　　　　　　　　（图2）　　　　　　　　　　（图3）（1）用含n的代数式表示m

7、；（2）当这a根火柴棒还能摆成如图3所示的形状时，求a的最小值．17．如图，已知直径与等边三角形ABC的高相等的圆与AB和BC边相切于点D和E，与AC边相交于点F和G，求∠DEF的度数．第9页18．已知抛物线l1：y＝ax2－2amx＋am2＋2m＋1（a＞0，m＞0）的顶点为A，抛物线l2的顶点B在y轴上，且抛物线l1和抛物线l2关于点P（1，3）成中心对称．（1）当a＝1时，求l2的解析式和m的值；（2）设l2与x轴正半轴的交点是C，当△ABC为等腰三角形时，求a的值．第9页第9页第9页第9页第9页第9页