圆切线证明方法

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1、圆的切线的证明方法　　天津四中杨建成　　平面内直线和圆存在着三种位置关系，即直线和圆相离、直线和圆相切、直线和圆相交，这三种位置关系中最重要的是直线和圆相切。那么怎样证明直线和圆相切呢？证明直线是圆的切线大体上有三种方法：　　⑴和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；　　⑵到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；　　⑶经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。　　其中⑴是切线的定义，它是从直线与圆的交点的角度来判断直线和圆的位置关系；⑵是从圆心到直线的距离d与圆的半径r的数量关系的角度来判断；⑶是根据切线的判定定理进行判断。⑵和⑶都是由⑴推演出来的。　　在几何证明中，常用的是

2、最后一种方法，具体的证法有两种：①当直线与圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连结起来，证明直线垂直于这条半径，简称为“连半径，证垂直”；②当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称为“作垂直，证半径”。　　例1.如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证CD是⊙O的切线。　　［分析］：因直线CD与⊙O有公共点D，故应采用“连半径，证垂直”的方法。　　［证明］：连结OD　　∵OC∥AD∴∠COB=∠DAO，∠COD=∠ADO　　∵OA=OD∴∠DAO=∠ADO　　∴∠COB=∠COD　　在△DOC和

3、△BOC中　　∵OD=OB，∠COD=∠COB12　　OC=OC　　∴△DOC≌△BOC　　∴∠CDO=∠CBO　　∵AB是⊙O的直径，BC是切线　　∴∠CBO=90°　　∴∠CDO=90°　　∵OD是⊙O的半径　　∴CD是⊙O的切线　　例2.如图，已知两个同心圆O中，大圆的弦AB、CD相等，且AB与小圆相切于点E，求证：CD是小圆的切线。　　［分析］：因直线CD与⊙O无公共点，故应采用“作垂直，证半径”的方法。　　［证明］：连结OE，过O点作OF⊥CD于F　　∵AB与小圆相切于点E　　∴OE⊥AB∴AE=BE，CF=DF　　∵AB=CD∴AE=CF　　在Rt△AEO和Rt△C

4、FO中　　∵OA=OC，AE=CF　　∴Rt△AEO≌Rt△CFO　　∴OE=OF　　∴CD是小圆的切线　　例3.如图，已知在△ABC中，CD是AB上的高，且CD=1/2AB，E、F分别是AC、BC的中点，求证：以EF为直径的⊙O与AB相切。　　　　　　　　　［分析］：因直线AB与⊙O无公共点，故应采用“作垂直，证半径”的方法。　　［证明］：过O点作OH⊥AB于H　　∵E、F分别为AC、BC的中点　　∴EF∥AB，且EF=1/2AB　　∴G点为CD的中点，OH=GD=1/2CD12　　∵CD=1/2AB∴EF=CD　　∴OH=1/2EF　　∴AB为⊙O的切线　　例4.如图，已知

5、AB是⊙O的直径，线段AF与⊙O相切于点A，D是AF的中点，BF交⊙O于E点，过B点的切线与DE的延长线交于C点，求证：CD与⊙O相切。　　［分析］：因直线CD与⊙O有公共点E，故应采用“连半径，证垂直”的方法。　　［证法一］：如图4-1，连结OE、AE　　∵AB是⊙O的直径　　∴AE⊥BF　　∵D是AF的中点　　∴DA=DF=DE　　∴∠DEA=∠DAE　　∵OA=OE∴∠OAE=∠OEA　　∵AB是⊙O的直径，AF是⊙O的切线　　∴∠DAE+∠OAE=90°　　∴∠DEA+∠OEA=90°　　∵OE是⊙O的半径　　∴CD与⊙O相切于E　　［证法二］：如图4-2，连结OE、A

6、E、OD　　∵AB是⊙O的直径　　∴AE⊥BF　　∵D是AF的中点　　∴DA=DE=1/2AF　　在△OED和△OAD中　　∵DE=DA，OD=OD，OE=OA　　∴在△OED≌△OAD　　∴∠OED=∠OAD　　∵AB是⊙O的直径，AF是⊙O的切线∴∠OAD=90°12　　∴∠OED=90°　　∵OE是⊙O的半径　　∴CD与⊙O相切于E　　［点评］：证法一是利用了等式的性质证明∠OED=∠OAD=90°,证法二是利用了全等三角形的对应角相等证明∠OED=∠OAD=90°　　例5.如图，已知直角梯形ABCD中∠A=∠B=90°，AD∥BC，E为AB上一点，ED平分∠ADC，CE

7、平分∠BCD，试问⑴以AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系？并证明。⑵以CD为直径的圆与AB又有怎样的位置关系？并证明。　　［分析］：　　⑴取AB的中点E，过E点作EF⊥CD于F，如果EF=AE，那么以AB为直径的圆与边CD相切，这就是“作垂直，证半径”。　　⑵的证明方法是在⑴得到AE=BE的基础上,作梯形的中位线EG，即要证明EG为圆的半径又要证明EG⊥AB。　　［证明］：⑴以AB为直径的圆与边CD相切。　　如图5-1，过E点作EF⊥CD于F　　∵DE平分∠ADC，DA⊥AE，EF⊥CD