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1、5.4线段的定比分点与平移一、知识要点归纳：1、线段的定比分点（1）定义设P1,P2是直线L上的两点，点P是L上不同于P1,P2的任意一点，则存在一个实数，使，叫做点P分有向线段所成的比。当点P在线段上时，；当点P在线段或的延长线上时，<0（2）定比分点的向量表达式：点P分有向线段所成的比是，则（O为平面内任意点）（3）定比分点的坐标形式,其中P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y)（4）中点坐标公式当=1时，分点P为线段的中点，即有（5）的重心坐标公式：2、平移（1）图形平移的定义设F是坐标平面内的一个图形，将图上的所有点按照同
2、一方向移动同样长度，得到图形F’，我们把这一过程叫做图形的平移。（2）平移公式设P(x,y)是图形F上任意一点，它在平移后图形上的对应点P’(x’,y’’)，且的坐标为(h,k)，则有，这个公式叫做点的平移公式，它反映了图形中的每一点在平移后的新坐标与原坐标间的关系。二、例题讲解：例1.已知点，线段上的三等分点依次为、，求、，点的坐标以及、分所成的比。xP1OyB(5,2)A(-1,-4)P2解：设、，则∴，即，，即由，得：，∴；由，得：，∴；思维点拨:定比是根据求得的,必须搞清起点、分点、终点。顺序不可搞错。例2．（1）把点A(3,5)按向
3、量平移，求平移后对应点A’的坐标。（2）把函数的图象按向量平移得F’，求F’的函数解析式。解：（1）设A’(x,y)，根据平移坐标公式得，得得A’(7,10)（2）设P(x,y)为F上的任意一点，它在F’上的对应点P’(x’,y’)，则，即代入中，得到即所以F’的函数解析式为思维点拨：正确选择平移公式，强化代入转移去思想。例3．是否存在这样的平移，使抛物线：平移后过原点，且平移后的抛物线的顶点和它与轴的两个交点构成的三角形面积为，若不存在，说明理由；若存在，求出函数的解析式。解：假设存在这样的平移，由平移公式即代入得，即平称后的抛物线为，顶点
4、为。由已知它过原点得：①。令，求得。因此它在轴上截得的弦长为。据题意：，∴代入①得。故存在这样的平移或当时，平移后解析式为；当时，平移后解析式思维点拨：确定平移向量一般是配方法和待定系数法，此题采用待定系数法。012例4．设函数。（1）试根据函数的图象(1)作出的图象，并写出变换过程；（2）的图象是中心对称图形吗？（3）写出的单调区间。解：令，化简得，即。又令得，由平移公式知，由的图象按向量平移，可得的图象，反之，由的图象按向量平移，可得到的图象，即：将的图象先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，便得到的图象。（2）由图知，的图象是中心对称
5、图形，其对称中心为。（3）单调减区间为和。【思维点拨】利用平移可将函数化简为一些基本函数，便于研究函数的性质。例5．已知曲线x2+2y2+4x+4y+4=0按向量a=（2，1）平移后得到曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）过点D（0，2）的直线与曲线C相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，设=λ，求实数λ的取值范围.解：（1）原曲线即为（x+2）2+2（y+1）2=2，则平移后的曲线C为x2+2y2=2，即+y2=1.（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），则由于点M、N在椭圆x2+2y2=2上，则即消去x22得，2λ2+8λy2+8
6、=2λ2+4λ+2，即y2=.∵－1≤y2≤1，∴－1≤≤1.又∵λ＞0，故解得λ≥.故λ的取值范围为［，+∞］.例6．.甲船由A岛出发向北偏东45°的方向做匀速直线航行，速度为15nmile/h，在甲船从A岛出发的同时，乙船从A岛正南40nmile处的B岛出发，朝北偏东θ（θ=arctan）的方向作匀速直线航行，速度为10nmile/h.（如下图所示）（1）求出发后3h两船相距多少海里?（2）求两船出发后多长时间相距最近?最近距离为多少海里?解：以A为原点，BA所在直线为y轴建立如下图所示的坐标系.设在t时刻甲、乙两船分别在P（x1，y1）
7、，Q（x2，y2），则由θ=arctan，可得cosθ=，sinθ=，x2=10tsinθ=10t，y2=10tcosθ－40=20t－40.（1）令t=3，P、Q两点的坐标分别为（45，45），（30，20）.
8、PQ
9、===5，即两船出发后3h时，两船相距5nmile.（2）由（1）的解法过程易知
10、PQ
11、====≥20.∴当且仅当t=4时，
12、PQ
13、的最小值为20，即两船出发4h时，相距20nmile为两船最近距离.三、课堂小结：（1）定比分点坐标公式时，一定要分清起点、终点和分点，在学习中不仅学会利用结论解决问题，也要注意该公式的推导过程，
14、从中可得到一些启迪，为今后的学习打下思想方法的基础。（2）使用平移公式时，要注意：点的平移时，给定平移向量由旧标求新标用公式；由新标求旧标用公式。图形平移时，给定平
