取现拐点自动确立

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1、曲线拐点的自动确定摘要：对于由离散点表示的数字地图与图形数据，本文首先利用两相邻矢量叉积乘积的原理来判定拐点所在的折线边；然后利用曲线光滑原理，在已确定的折线边的两个端点之间，建立一条光滑加密了的S形曲线，把后者看作是原始折线的精确曲线，对它进行曲线段凹向改变点（拐点）的定位计算。对于离散数据，多次应用矢量叉积乘积的原理，求出最或然拐点，并看作是理论拐点。为了简化计算量，探讨了如何避免为求拐点而进行光滑加密的辅助计算过程。对此，研究分析了拐点在折线边上的移动规律与其前后的曲线转角之间的相关关系，借此可直接根据原始离散数据作简单计算

2、，在足够精确的程度上得出拐点的位置。关键词：拐点；弯曲；曲折系数；矢量叉积曲线的弯曲可看作是线状物体的子物体。在常规作业中，地图工作者识别各个弯曲不存在任何问题。而在计算机环境下，为了能使计算机自动识别曲线的各个弯曲，需要对弯曲作出数学形式化定义。一、拐点的定义曲率最小点（零曲率点）即拐点，它是曲线凹向的变化（凸凹交替）点，是图形数学弯曲的分界点。拐点的连线就构成弯曲的底线，不同层次的拐点连线反映着线状物体不同级别的趋势走向。然而，拐点信息在数据获取中难以精确定位，通常也不像对待其他特征点那样给以特别的考虑，且在数据库管理中也未予

3、以显式标示，即在原始数据中往往没有明确包含曲线的拐点信息。因此，在必要的情况下，只能通过计算来确定。拐点又叫做扭转点，即在其前后存在的一个邻域内，使得其前后曲线段的凸凹特性相反。或者说，过拐点的切线把邻域内的曲线分成两部分，后者位于此切线的异侧。在数字环境下，曲线不是由显式数学函数来表示，而是由离散坐标点来表示。此时，拐点的确定可分为两个子过程来进行：在原始数据的哪两点之间或曲线图形的哪一条边的区间存在拐点；拐点在该区间的何处。二、拐点存在区间的判别由于两个不共线矢量的叉积可决定所成转角的凸凹特征，故对于拐点存在区间的判别，可通过

4、对每相邻4点（A，B，C，D）（其中每相邻三点不共线）进行测试来实现。在下图中A、D点是否位于B、C点连线的异侧。由这4个有序点可形成3个有序矢量（AB，BC，CD），这3个有序矢量可形成两个有序的矢量叉积。拐点存在的充要条件就是曲线凹向改变，即（ＡＢ×ＢＣ）×（ＢＣ×ＣＤ）＜０（1）（图拐点存在的折线段BC的判别）　　作连续两个相邻矢量叉积（曲率或凹向的标志数）a×b和b×c乘积，当（ＡＢ×ＢＣ）×（ＢＣ×ＣＤ）＜０，则存在拐点，，这个拐点就在两个矢量叉积的中间共享边BC区间某处。如果拐点所在边的长度很短，则可取其中点为所需拐点

5、，这时可直接进入下一个拐点的确定。否则，需要进行离散点曲线拐点位置的确定。三、离散点曲线拐点位置的确定此处研究的是拐点在其存在边BC区间的定位。在进行拐点在其存在边BC区间的定位之前，先得做一些准备工作——高精度S形光滑曲线的生成。①高精度S形光滑曲线的生成为了使所求的拐点位置尽可能精确，需要有十分精确的曲线数据。数字化时是在精度范围内“以直代曲”，此处借助曲线光滑来实施“将直复曲”，以获取所需的更为精确的数据。用“斜轴抛物线光滑插值”【1】来表述拐点位置，进而确定拐点的位置与其前后相关数据点之间的关系，以便利用此关系绕过光滑插值

6、直接按原始数据解算拐点。斜轴抛物线光滑插值生成高精度S形光滑曲线的基本原理可通过与正轴抛物线光滑插值作比较来说明(图2)。对于x值单调的非共线3个原始数据(节)点A、B、C。用拉格朗日差值多项式建立的正轴抛物线图形为曲线段ABDC。此时的最大曲率点位于D点，而D点并不是给定的已知的原始数据点。若借助坐标平移使抛物线的顶点位于中间点B。并通过坐标系旋转使抛物线同时通过A、C。这样的抛物线是一个局部坐标系中的斜轴抛物线，只是其坐标轴转角是个待定值．它可通过已知3点来解出[1]。过已知三点A、B、C的斜轴抛物线图形(路径)为曲线段ABC

7、。这两种抛物线之间的差异是显然的。如果骑自行车通过给定的A、B、C三点，其路径显然是近似于曲线ABC而不是ABDC。由此可见，路径问题是一个与坐标系无关的问题，斜轴抛物线是一条与坐标系无关的路径曲线。（图过A，B，C三点的斜轴抛物线ABC与正轴抛物线ABDC的区别）当x值不满足单调条件时，对于正轴抛物线来说，在出现多值函数的情况下．不能用正轴抛物线进行插值。而在斜轴条件下，无任何限制。②拐点在其存在边BC区间的定位如前所述，拐点的位置是在前后两个相邻的凹向相反的地方。拐点的位置由曲线光滑方法所限定，而光滑方法却有多种。因此，借助不

8、同的光滑方法会得出不同的拐点。可以这样说．对于离散数据点曲线没有惟一的精确拐点存在．从而可用尽可能简单的方法来得到科学合理的拐点。为此，先通过图3所示的特殊对称情况(αB=αC)来说明拐点的计算问题。笔者在此仍采用计算表达凸凹特性的矢量叉积乘积法来