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《n阶常系数线性非齐次方程解法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、n阶常系数线性非齐次方程解法对于形如+…+u+g=/⑺的解法，它的通解等于其对皮的齐次方程y(/,)+axy{n~{}+•••+an_{y+any=O的通解与它本身的一个特解之和.比较系数法(待定系数法)下面分两种类型讨论：1°设/(，)=(b，+b广'+…+V/+W,其中2及/^=0,1，…，m)为实常数.当A不是特征根时，广十什:^’+…+^+AJ，=/(x)有形如ylM=Qm(x)eAx的特解，其中U)=+q{xm~{+…+U+qm当＞1是k(k＞1)重特征根时，产+^^+…+么}7+&,＞，=/(X)有形如y,(x)=xke
2、in(x)e2x的特解，其中2/H(x)=67(/n+^i^，_l+%，对于yi(x)中的em(u的系数，则可以由待定系数法求得.例11求方程/-5/+6＞，=6%2-10%+2的通解解先求对应齐次方程/-5/+6＞，=0的通解，其特征方程是/12-5/1+6=0；故特征根为4=2,么=3从而，对应齐次线性方程通解为y=c}e2x+c2e3x:巾丁*4=0不是特征根，因而已知方程有形如:=Ax2+fir+c的特解.为确定A，B，C将它代入原方程中，由于/=2Ar+S,/=2A,2A—5(2Ax+fl)+6(Ax2+Bx+c)—6%2
3、—1Ox+2.n阶常系数线性非齐次方程解法对于形如+…+u+g=/⑺的解法，它的通解等于其对皮的齐次方程y(/,)+axy{n~{}+•••+an_{y+any=O的通解与它本身的一个特解之和.比较系数法(待定系数法)下面分两种类型讨论：1°设/(，)=(b，+b广'+…+V/+W,其中2及/^=0,1，…，m)为实常数.当A不是特征根时，广十什:^’+…+^+AJ，=/(x)有形如ylM=Qm(x)eAx的特解，其中U)=+q{xm~{+…+U+qm当＞1是k(k＞1)重特征根时，产+^^+…+么}7+&,＞，=/(X)有形如y,
4、(x)=xkein(x)e2x的特解，其中2/H(x)=67(/n+^i^，_l+%，对于yi(x)中的em(u的系数，则可以由待定系数法求得.例11求方程/-5/+6＞，=6%2-10%+2的通解解先求对应齐次方程/-5/+6＞，=0的通解，其特征方程是/12-5/1+6=0；故特征根为4=2,么=3从而，对应齐次线性方程通解为y=c}e2x+c2e3x:巾丁*4=0不是特征根，因而已知方程有形如:=Ax2+fir+c的特解.为确定A，B，C将它代入原方程中，由于/=2Ar+S,/=2A,2A—5(2Ax+fl)+6(Ax2+Bx
5、+c)—6%2—1Ox+2.比较上式等号两端x的同次幂系数，可得4=1,5=0,C=0,故已知方程特解为则原方程的通解为pf+cf+c2e'例12求方程y〃-4/+4;y=2e2A.解由于A2-4/l+4=0则^=^=2故齐次方程通解为：y=e2x(c^c2),巾于A=2为二重特征根，故有Yj=Ax2e2x,故A=l,y,=%2e2则原方程的通解力y=X2#+，(W).2°/(0=[A(Ocospt+S(r)sin,其中a,#为常数，而A(t),5(0是带实系数t的多项式，其中一个的次数为zn，一个的次数不超过zn，则有形如x=?
6、[P(Z)cos/?z+2(z)sin^的特解.其中k为特征方程p(a)=o的根的重数，而p(t)，e(o均为特定的带实系数的次数不高于m的t的多项式1"一收i^x-i(ix根据欧拉公式，有⑴咖=，sin体=22iifix,-ifixifix_-/A则/•(，)=—+—=A(Zk(a+/^+B又t)e(ax22i再利用迭加原理，于是有两种形式：(1)如果a±消不是特征根，则特解具有形式y,=eav[Q/fl(1)cos/Sr+Qm(2)sin/3x其中gm(1)(x),2M(2)(x)是系数待定的m次多项式.(2)如果是k重特征根
7、，则特解应具有形状y=xeax[Qm(x)cos々x+Cw(x)sinfix].例13求解方程xx=sint-cos2,.解先求对应的齐次方程*+*=0，我们有A2+l=0,故特征根为4=/•，岑;由于迭加原理，则原方程可化为x+x=sinZx+x=-cos2r(1)对于％+x=sin,，由于6^±//?=土/是特征根，故方程x+x=sinz具有形如；=r(Acosr+Bcosz)的特解，现将上式代入/+>x=sinz，则则分+x=sinz的通解为X«Icosz+c,(Z)cosz+c2(z)sinz.(2)对于/+%=-cos2
8、r,由于<2±//?=±2z小足特征根，故方程x"+x=-cos2,具有形如4=(Acos2r+Bsin2z)的特解.现将上式代入x+x=—cos2z9贝1
9、焱=丄，B=0,3则x+^=-cos2r的通解为又=-^cos2r+c,co
