资源描述：
《平衡原理及机理模型》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、§3.3平衡原理与机理模型一.平衡原理自然界任何物质在其运动变化过程中一定受到某种平衡关系的支配。二.机理模型在一定的假设下，根据主要因素相互作用的机理，对它们之间的平衡关系的数学描述。三.连续模型连续模型组建的微元法在自变量的微小的区间内以简单的形式描述有关变量之间的平衡关系,再利用微分学的思想进一步处理它,得到以微分方程的形式描述的数学模型。例1.人口的自然增长.建模描述一个地区内人口的自然增殖的过程。即考虑由于人口的生育和死亡所引起的人群数量变化的过程。假设1.人群个体同质。令N(t)表示t时刻的人口数。假设2.群体规模大。N(t)连续可微.假设3.群体封闭，
2、只考虑生育和死亡对人口的影响。平衡关系：人口数在区间[t，t+rt]内的改变量等于这段时间内出生的个体数与死亡的个体数之差。令B(t,rt,N),D(t,rt,N)分别表示在时间区间[t，t+rt]内生育数和死亡数,则有N(t+Dt)-N(t)=B(t,Dt,N)-D(t,Dt,N)假设4.从大群体的平均效应考虑生育和死亡对人口的影响。（生育率和死亡率）生育率b(t,rt,N)=B(t,rt,N)/N,死亡率d(t,rt,N)=D(t,rt,N)/N记增长率为R(t,Dt,N)=b(t,Dt,N)-d(t,Dt,N)则有N(t+Dt)-N(t)=R(t,Dt,N)N
3、将R(t,rt,N)关于rt展开.由于R(t,h,N)
4、h=0=0，所以N(t+rt)-N(t)=r(t,N)Nrt+o(rt).两边除以rt,并令rt→0,得到dN/dt=r(t,N)N假设5.群体增长恒定。（r与t无关）dN/dt=r(N)N假设6.个体增长独立。（r与N无关）dN/dt=rN给定初值N(0)=N0，可得人口增长的指数模型(Maithus模型)N(t)=N0ert在离散时间点k=0,1,2,…,上有N(k+1)=erN(k)Maithus:“若我的两个假设是成立的,那么,我认为人口繁殖的能量是无限地大于自然界为人类提供资料的能量的。人口如果不受控
5、制，它会以几何比率增长。而生活资料只能以算术比率增长。只要稍微看一下数字，就将明确第一种能量比之第二种能量是无比巨大的。”《论人口原理》总结对人口指数增长模型的假设,1.人群个体同质。2.群体规模大。3.群体封闭，只考虑生育和死亡对人口的影响。4.从大群体的平均效应考虑生育和死亡对人口的影响。（生育率和死亡率）5.群体增长恒定。56.个体增长独立。由这些假设可分析这个模型的作用.例2池水含盐池中有一定体积的盐水，从池的上部向池中注入一定浓度的盐水。混合后的盐水将从池的下部流出。建模描述池中盐水浓度的动态。假设：盐水注入池中后迅速混合,使得盐水浓度均匀。变量、参量：池
6、中盐水体积V(t),池中盐水浓度p(t);池中原有盐水体积V0,原有盐水浓度p0;流入盐水速度rI(t),流入盐水浓度pI(t);流出盐水速度rO(t),流出盐水浓度p(t).平衡关系在时间段[t+rt]内,池中(纯)盐的改变量=这段时间内流入的(纯)盐的量与流出的(纯)盐的量之差。池中盐的改变量：p(t+rt)V(t+rt)-p(t)V(t)流入盐量：流出盐量：利用积分中值定理可得在时间段[t+rt]内,池中盐水体积的改变量=这段时间内流入盐水的体积与流出盐水体积之差；令rt®0得模型进一步问题：池中有水2000m3，含盐2kg，以6m3/分的速率向池中注入浓度为
7、0.5kg/m35的盐水，又以4m3/分的速率从池中流出混合后的盐水。问欲使池中盐水浓度达到0.2kg/m3，需要多长时间？此时V(t)=2000+2*t.dp/dt=3/V(t)-6*p(t)/V(t),p(0)=0.001.用MATLAB求p(t)求表达式（符号运算）S=dsolve(‘Dx=(3-6*x)/(2000+2*t)’);求数值解建立M文件fun.M,functiony=fun(t,x)y=(3-6*x)/(2000+2*t);t0=0;tf=200;x0=2;[t,x]=ode23(‘fun’,t0,tf,x0);plot(t,x);四.离散模型离
8、散模型的组建利用平衡原理，找出每一步对前一步或前几步的依赖关系，得到以差分方程的形式描述的数学模型。例1.买房贷款：银行可以向购房人提供个人住房贷款的业务。偿还贷款时要求借款人在借款期间内每月以相等的月均还款额偿还银行贷款本金和利息。试组建计算月均还款额的数学模型。假设：1.逐月偿还贷款；2.每月还款金额相等；3.按月计算利息；4.每月月底还款。参量、变量贷款额：A(万元)，贷款期限：N年(n=12N月),月利率：r，月均还款额：x。令Ck表示第k月月底还款后的欠款余额，记C0=A.第n月的月底欠款应全部偿还完毕,则有Cn=0平衡关系:本月月底还款后的欠款余额=
