05 数学的内容、方法和意义

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1、凤凰初中数学配套教学软件_知识拓展数学的内容、方法和意义——丘成桐(在北大百周年校庆学术报告会上的演讲)  今天要讲的是数学的内容、方法和意义,这原是苏联人写的一本书的书名,和今天的演讲内容借过来作为演讲的名称.  今天是北大百周年校庆,五四运动便是北大学生发动的.作为演讲的引子,让我们先简略地回顾一下“五四”前后中西文化之争.十九世纪中业以后,中国对西方科技的认识,是“船坚炮利”,在屡次战争失利后,张之洞提出了“中学为体、西学为用”的主张,即以传统儒家精神为主,加入西方的技术.到了五四运动前后便有了科

2、玄论战.以梁漱溟为主的一派以东方精神文明为上,捍卫儒学,以为西方文明强调用理性和知识去征服自然,缺乏生命之道,人变成机械的奴隶;而中国文化自适自足,行其中道,必能发扬光大.其时正值第一次世界大战结束,西方哲学家罗素等对西方物质文明深恶痛绝,也主张向东方学习.另一派以胡适为首者则持相反意见,他们以为在知识领域内科学万能,人生观由科学方法统驭,未经批判及逻辑研究的,皆不能成为知识.  科玄论战最终不了了之,并无定论.两派对近代基本科学皆无深究,也不收集数据,理论无法严格推导,最后变得空泛.其实这便是中国传统

3、文化之一特点.一方面极抽象,有质而无量,儒道皆云天人合一,禅宗又云不立文字,直指心性.另一方面则极实际,庄子说“蔽于天而不知人”.古代的科学讲求实用,一切为人服务,四大发明之一指南针、造纸、印刷术、火药莫不如此.要知道西方技术之基础在科学,实际和抽象的桥梁乃是基本科学,而基本科学的工具和语言就是数学.  历代不少科学家对数学都有极高的评价.我们引用一些物理学家的话作为例子.R.Feyman在「物理定律的特性」一书中说我们所有的定律,每一条都由深奥的数学中的纯数学来叙述,为什么?我一点也不知道.E.Wig

4、ner说数学在自然科学中有不合常理的威力.F.Dyson说:在物理科学史历劫不变的一项因素,就是由数学想像力得来的关键贡献,基本物理既然由高深的数学来表示.应用物理,流体等大自然界的一切现象,只要能得到成熟的了解时,都可以用数学来描述.写过「湖滨散记」的哲人梭罗也说有关真理最明晰,最美丽的陈述,最终必以数学形式展现.凤凰初中数学配套教学软件_知识拓展  其实数学家不只从自然界吸收养分,也从社会科学和工程中得到启示.人类心灵中由现象界启示而呈现美的概论,只要能够用严谨逻辑来处理的都是数学家研究的对象.数学

5、和其他科学不同之处是容许抽象,只要是美丽的,就足以主宰一切,数学和文学不同之处是一切命题都可以由公认的少数公理推出.数学正式成为系统性的科学始于古希腊的欧几里德,他的「几何原本」是不朽名作.明末利玛窦和徐光启把它译成中文,并指出“十三卷中五百余题,一脉贯通,卷与卷,题与题相结倚,一先不可后,一后不可先,累累交承,渐次积累,终竟乃发奥微之义”.复杂深奥的定理都可以由少数简明的公理推导,至此真与美得到确定的意义,水乳交融,再难分开.值得指出,欧几里德式的数学思维,直接影响了牛顿在物理上三大定律的想法,牛顿巨

6、著「自然哲学的数学原理」与「几何原本」一脉相承.从爱因斯坦到现在的物理学家都希望完成统一场论,能用同一种原理来解释宇宙间的一切力场.  数学的真与美,数学家的体会深刻.Sylvester说“它们揭露或阐明的概念世界,它们导致的对至美与秩序的沉思,它各部分的和谐关联,都是人类眼中数学最坚实的根基”.数学史家M.Kline说“一个精彩巧妙的证明,精神上近乎一首诗”.当数学家吸收了自然科学的精华,就用美和逻辑来引导,将想像力发挥的淋漓尽致,创造出连作者也惊叹不已的命题.大数学家往往有宏伟的构思,由美作引导,例

7、如Weil猜想促成了重整算数几何的庞大计划,将拓扑和代数几何融入整数方程论中.由A.Grothendieck和P.Deligne完成的Weil猜想,可说是抽象方法的伟大胜利.回顾数学的历史,能够将几个不同的重要观念自然融合而得出的结果,都成为数学发展的里程碑.爱因斯坦将时间和空间的观念融合,成为近百年来物理学的基石;三年前A.Wiles对自守型式和Fermat最后定理的研究,更是扣人心魄.数学家能够不依赖自然科学的启示得出来的成就,令人惊异,这是因为数字和空间本身就是大自然的一部分,它们的结构也是宇宙结

8、构的一部分.然而,我们必须紧记,大自然的奥秘深不可测,不仅仅在数字和空间而已,它的完美无处不在,数学家不能也不应该抗拒这种美.  本世纪物理学两个最主要的发现:相对论和量子力学对数学造成极大的冲击.广义相对论使微分几何学“言之有物”凤凰初中数学配套教学软件_知识拓展,黎曼几何不再是抽象的纸上谈兵.量子场论从一开始就让数学家迷惑不已,它在数学上作用仿如魔术.例如Dirac方程在几何上的应用使人难以捉摸,然而它又这么强而有力地影响着几何的发展.

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