05 数学的内容、方法和意义

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1、凤凰初中数学配套教学软件_知识拓展数学的内容、方法和意义——丘成桐（在北大百周年校庆学术报告会上的演讲）　　今天要讲的是数学的内容、方法和意义，这原是苏联人写的一本书的书名，和今天的演讲内容借过来作为演讲的名称．　　今天是北大百周年校庆，五四运动便是北大学生发动的．作为演讲的引子，让我们先简略地回顾一下“五四”前后中西文化之争．十九世纪中业以后，中国对西方科技的认识，是“船坚炮利”，在屡次战争失利后，张之洞提出了“中学为体、西学为用”的主张，即以传统儒家精神为主，加入西方的技术．到了五四运动前后便有了科

2、玄论战．以梁漱溟为主的一派以东方精神文明为上，捍卫儒学，以为西方文明强调用理性和知识去征服自然，缺乏生命之道，人变成机械的奴隶；而中国文化自适自足，行其中道，必能发扬光大．其时正值第一次世界大战结束，西方哲学家罗素等对西方物质文明深恶痛绝，也主张向东方学习．另一派以胡适为首者则持相反意见，他们以为在知识领域内科学万能，人生观由科学方法统驭，未经批判及逻辑研究的，皆不能成为知识．　　科玄论战最终不了了之，并无定论．两派对近代基本科学皆无深究，也不收集数据，理论无法严格推导，最后变得空泛．其实这便是中国传统

3、文化之一特点．一方面极抽象，有质而无量，儒道皆云天人合一，禅宗又云不立文字，直指心性．另一方面则极实际，庄子说“蔽于天而不知人”．古代的科学讲求实用，一切为人服务，四大发明之一指南针、造纸、印刷术、火药莫不如此．要知道西方技术之基础在科学，实际和抽象的桥梁乃是基本科学，而基本科学的工具和语言就是数学．　　历代不少科学家对数学都有极高的评价．我们引用一些物理学家的话作为例子．R.Feyman在「物理定律的特性」一书中说我们所有的定律，每一条都由深奥的数学中的纯数学来叙述，为什么？我一点也不知道．E.Wig

4、ner说数学在自然科学中有不合常理的威力．F.Dyson说：在物理科学史历劫不变的一项因素，就是由数学想像力得来的关键贡献，基本物理既然由高深的数学来表示．应用物理，流体等大自然界的一切现象，只要能得到成熟的了解时，都可以用数学来描述．写过「湖滨散记」的哲人梭罗也说有关真理最明晰，最美丽的陈述，最终必以数学形式展现．凤凰初中数学配套教学软件_知识拓展　　其实数学家不只从自然界吸收养分，也从社会科学和工程中得到启示．人类心灵中由现象界启示而呈现美的概论，只要能够用严谨逻辑来处理的都是数学家研究的对象．数学

5、和其他科学不同之处是容许抽象，只要是美丽的，就足以主宰一切，数学和文学不同之处是一切命题都可以由公认的少数公理推出．数学正式成为系统性的科学始于古希腊的欧几里德，他的「几何原本」是不朽名作．明末利玛窦和徐光启把它译成中文，并指出“十三卷中五百余题，一脉贯通，卷与卷，题与题相结倚，一先不可后，一后不可先，累累交承，渐次积累，终竟乃发奥微之义”．复杂深奥的定理都可以由少数简明的公理推导，至此真与美得到确定的意义，水乳交融，再难分开．值得指出，欧几里德式的数学思维，直接影响了牛顿在物理上三大定律的想法，牛顿巨

6、著「自然哲学的数学原理」与「几何原本」一脉相承．从爱因斯坦到现在的物理学家都希望完成统一场论，能用同一种原理来解释宇宙间的一切力场．　　数学的真与美，数学家的体会深刻．Sylvester说“它们揭露或阐明的概念世界，它们导致的对至美与秩序的沉思，它各部分的和谐关联，都是人类眼中数学最坚实的根基”．数学史家M.Kline说“一个精彩巧妙的证明，精神上近乎一首诗”．当数学家吸收了自然科学的精华，就用美和逻辑来引导，将想像力发挥的淋漓尽致，创造出连作者也惊叹不已的命题．大数学家往往有宏伟的构思，由美作引导，例

7、如Weil猜想促成了重整算数几何的庞大计划，将拓扑和代数几何融入整数方程论中．由A.Grothendieck和P.Deligne完成的Weil猜想，可说是抽象方法的伟大胜利．回顾数学的历史，能够将几个不同的重要观念自然融合而得出的结果，都成为数学发展的里程碑．爱因斯坦将时间和空间的观念融合，成为近百年来物理学的基石；三年前A.Wiles对自守型式和Fermat最后定理的研究，更是扣人心魄．数学家能够不依赖自然科学的启示得出来的成就，令人惊异，这是因为数字和空间本身就是大自然的一部分，它们的结构也是宇宙结

8、构的一部分．然而，我们必须紧记，大自然的奥秘深不可测，不仅仅在数字和空间而已，它的完美无处不在，数学家不能也不应该抗拒这种美．　　本世纪物理学两个最主要的发现：相对论和量子力学对数学造成极大的冲击．广义相对论使微分几何学“言之有物”凤凰初中数学配套教学软件_知识拓展，黎曼几何不再是抽象的纸上谈兵．量子场论从一开始就让数学家迷惑不已，它在数学上作用仿如魔术．例如Dirac方程在几何上的应用使人难以捉摸，然而它又这么强而有力地影响着几何的发展．