04级试题答案

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1、姓名：学号：院系：班授课教师：大连理工大学试卷答案课程名称：计算方法授课院(系)：应用数学系考试日期：2008年1月11日一、填空（每一空2分，共46分）1．设，则2，，，3。2．给定3个求积节点：，和，则用复化梯形公式计算积分求得的近似值为:，则用复化Simpson公式求得的近似值为。2．设函数，若当时，满足，则其可表示为。4．已知,则6,0，逼近的Newton插值多项式为:。5．用于求的根的具有平方收敛的Newton迭代公式为：。6．已知，则的Jordan标准型是：或；7．取，其中，,则-7-；8．求解一阶常微分方程初值问题，的向后（隐式）

2、Euler法的显式化的格式为：。9．设12为的近似值，且，则至少有5位有效数字；10．将，化为的Householder矩阵为：；11．；12．用二分法求方程在区间内的根，进行一步后根所在区间为，进行二步后根所在区间为。13．写出如下二阶常微分方程两点边值问题的差分格式为（化成最简分量形式）：。，，，其中，，。14．设，则在Schur分解中，可取为或。15．设，则,。#-7-二、（8分）根据下列表格给出的数据，求其形如的最小二乘拟合曲线。-2-1012-3.1-0.91.03.14.9解：正规方程为：即为：，解之，。#三、（12分）设线性方程组：

3、（1）列主元消元法求出上述方程组的解，并利用得到的上三角矩阵计算出（要有换元、消元过程）；（2）试问用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解上述方程组是否收敛？（3）请给出可求出上述方程组解的收敛的Jacobi、Gauss-Seidel迭代法的分量形式的迭代公式，并说明其收敛性。解：（1）故，，。（2）由于Gauss-Seidel迭代法的特征值满足：-7-，则，故，从而Gauss-Seidel迭代法发散。又由于Jacobi迭代法的迭代矩阵为：，，则，故，从而Jacobi迭代法发散。（3）将上述方程组的第一个方程与第二个方程对调后

4、，新的方程组的系数矩阵为：是严格对角占有的，故Jacobi和Gauss-Seidel迭代法均收敛。且新的方程组与原方程组同解。Jacobi、Gauss-Seidel迭代法的分量形式的迭代公式分别为：和#-7-四、（15分）对于如下的数值方法（1）求出其局部截断误差主项，并指出此方法的完整名称；（2）证明其收敛性；（3）求出其绝对稳定区间。解：（1）注意，，从而故此为线性隐式二步三阶法，其局部截断误差主项为：。（2）令，，得，，满足根条件；又方法阶，故此差分格式收敛。（3）又对于模型问题：(),取而要使得的充要条件为：而自然成立。现在再由得由，可

5、推出，即。#-7-五、（14分）（1）用Schimidt正交化方法，构造上权函数正交多项式系，，，;（2）设在上具有二阶连续导数，用1）中所得到的的零点,为插值节点构造的Largrange插值多项式，并给出余项估计式；（3）设要计算积分以代替，求出相应的数值求积公式，并求出其代数精度；（1）利用3)的结果给出的数值求积公式。解：（1），（2）令，得。则，，（3），3次代数精度。（2）令则。#-7-六、证明题（5分）设均为可逆矩阵，且齐次线性方程组有非零解，证明：对于中的任何矩阵范数，都有。证明：（1）由题意，可知矩阵奇异。故奇异。反证法，若存在

6、某种范数，使得，则，则可知非奇异，与条件矛盾。（2）由于有非零解，故对，取与向量的范数相容的矩阵范数，则由得。#-7-