§2-6 函数极大(小)值和最大(小)值

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1、127§2-6函数的极值和最大（小）值§2-6函数的极大(小)值和最大(小)值1.函数的极大(小)值一个函数在它有定义的区间上可能没有最大(小)值，但它在某个部分区间上可能会有最大(小)值，即局部最大值或局部最小值.函数的局部最大值或局部最小值，又称为函数的极大值或极小值.具体地说，设函数在点连续.若有足够小的正数，使yy=f(x)图2-21Oax0x1bx(图2-21)则称函数在点取到极大值，并称点为函数的极大值点.同理，使(图2-21)则称函数在点取到极小值，并称点为函数的极小值点.函数的极大值和极小值统称为函数的极值，而函数的极大值点和极小值点统称为函数的

2、极值点.因为函数的极值是函数在小范围内的最大值或最小值，根据定理2-1，我们就有下面的结论：若函数在某区间内的点处取到极值且有导数，则.因此，是可微函数在点取到极值的必要条件,但它不是可微函数取到极值的充分条件!例如函数，尽管有，但不是它的极值点(图2-22).以后，就把使的点称为函数的驻点(可能不是极值点).图2-22xyO图2-23Oxy需要指出，不能把上面的结论简单说成“函数取到极值的必要条件”.例如，函数(图2-23)，它在点0有极小值(也是最小值)，可是它在点0没有导数.因此，函数在区间内部的极值点只可能是它的驻点或没有导数的点.它们合在一起称为函数的

3、临界点.一般情形下，求连续函数在开区间内的极值时，一般步骤是：第一步，求出在区间内的所有临界点(即驻点或没有导数的点)；第二步，对于每一个临界点，再用下面的判别法验证它是否为极值点；第三步，求出函数在极值点处的函数值(即函数的极大值或极小值).判别法Ⅰ设为连续函数在区间内的临界点(驻点或没有导数的点)127§2-6函数的极值和最大（小）值.若有足够小的正数，使(见图2-24)⑴在内是增大的且在内又是减小的，则是极大值；[或][或]⑵在内是减小的且在内又是增大的，则是极小值；[或][或]⑶在内是增大的或是减小的，则不是极值.(1)x0图2-24(2)x0x0(3)

4、当为函数的驻点且时，就用下面的判别法Ⅱ.判别法Ⅱ设为函数在区间内的驻点[即].若有二阶导数，则⑴当时，是极大值；⑵当时，是极小值.[当时，函数在点是否取到极值，需要做进一步的讨论]证根据例22（§2-5），则有于是得因为，所以当足够小时，与同符号.因此，有正数，使当时，这就是要证的结论.例23求函数的极值.解，由得驻点.因为，所以是极大值；是极小值.【注】若函数在点没有导数或二阶导数，就去用上面的判别法Ⅰ.2.函数的最大(小)值(又称为绝对极值)函数的最大(小)127§2-6函数的极值和最大（小）值值是指函数在定义域或定义域中某个区间上的最大(小)值.求连续函数

5、在闭区间上的最大值和最小值时，方法更简单：第一步，先求出在开区间内的临界点；并求出在所有临界点上的函数值.第二步，把以上函数值与区间端点上的函数值和放在一起做比较，其中最大者就是函数在闭区间上的最大值，最小者就是函数在闭区间上的最小值.非闭区间上的连续函数可能没有最大值或最小值.在这种情形下，就要根据具体问题，经过分析后才能确定某个函数值是最大值或最小值.例如，⑴函数在区间上增大(减小)时，就是最小值(最大值)；⑵函数在区间上增大(减小)时，就是最大值(最小值)；⑶设有点.若函数在区间上增大且又在区间上减小，则就是最大值；若函数在区间上减小且又在区间上增大，则就

6、是最小值.例24证明不等式：.证令，则在上是连续函数.因为[即函数是增函数]所以是最小值.因此，，即.例25证明：函数在区间内有最大值.由此再证明近代数学中著名的赫尔窦(Hölder)不等式:证由得驻点.因为当时，[即增大]，当时，[即减小]，所以是最大值.其次，令，则而根据上述结论，即，则得不等式127§2-6函数的极值和最大（小）值两端同乘，并注意，则得要证的不等式.在非闭区间上求一个函数的最大(小)值问题，常常出现在实际应用问题中.解这类问题时，首先需要根据问题本身，运用几何学或物理学或其他有关科学中的知识，列出“目标函数”(即要求它的最大值或最小值的函数

7、)的函数式.这样，问题就变成求目标函数的最大值或最小值.例如，“当矩形周长为定值时，它的长和宽为何值时面积最大？”或“当矩形面积S为定值时，它的长和宽为何值时周长最小？”设矩形的一边长为，则前一个问题的目标函数就是(矩形面积)而后一个问题的目标函数就是(矩形周长)这样，问题就变成求函数的最大值或求函数的最小值.例26设有闭合电路如图2-25.它由电动势、内阻和纯电阻负载所构成.若和是已知常数，问负载为何值时，电流的电功率最大？EI图2-25R解根据电学的知识，闭合电路中电流的电功率为(为电流强度)而根据闭合电路的欧姆定律，电流强度.因此，电功率为(自变量为)由，

8、即由得.因此，当负载(内