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1、耐人寻味的对称性肖燕鹏（黄石市第三中学，湖北435000）对称性普遍存在于自然界中，如各种动物的形体就具有很好的对称性。能熟练求曲线关于点或直线的对称曲线，判断关于点或直线的对称性，加深对自然界的认识，体现数学的美感，是培养数学情操内容之一。曲线关于点对称的曲线方程或关于直线对称的曲线方程的求法源于点的对称原理。其应用灵活性较大且变化多端，确实耐人寻味。一、曲线关于点或直线对称性的定理定理1：曲线f(x，y)＝0关于点p(a，b)的对称曲线方程为f(2a－x，2b－y)＝0。证明略。特殊情况，曲线f(x，y)＝0关于原点
2、对称的曲线方程为f(－x，－y)＝0。定理2：曲线f(x，y)＝0关于直线Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)对称的曲线方程为(*)证明：设f(x，y)=0上任一点P0(x0，y0)关于直线Ax＋By＋C＝0的对称点为P(x,y)，则f(x0,y0)＝0且，化为：A(y－y0)－B(x－x0)＝0——①注意到B＝0时①式成立，又由P0P的中点在直线Ax＋By＋C＝0上得——②由①②解出化成易记形式：代入f(x，y)＝0得点P(x，y)在曲线(*)上。反过来可证得曲线(*)上任一点关于直线Ax+By+C＝0的对称点也在f
3、(x,y)＝0上。特殊情况：①曲线f(x,y)＝0关于直线x轴的对称轴或方程为f(x，－y)＝0②曲线f(x,y)＝0关于y轴对称的曲线方程为f(－x,y)＝0③曲线f(x,y)＝0关于直线x＝a的对称曲线方程为f(2a－x,y)＝0④曲线f(x,y)＝0关于直线y＝b对称的曲线方程为f(x,2b－y)＝0⑤曲线f(x,y)＝0关于直线x+y+c＝0对称的曲线方程为f(－y－c,－x－c)＝0⑥曲线f(x,y)＝0关于直线x－y+c＝0对称的曲线方程为f(y－c,x+c)＝0观察其本质，只需对原方程中x，y的位置用相应的
4、式子代即可，如关于直线x＝a对称，当且仅当2a－x代替x，y不变。关于点P(a,b)对称，则用2a－x代x，2b－y代y等等。二、应用曲线关于点或直线对称性的定理时应确定的几个问题31、确定自身对称还是他对称定理中若前后两个方程相同，则曲线f(x,y)＝0自身具有对称性，若不同，则两个曲线之间具有对称性。例1：f(x)的定义域为R，则y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图像关于______对称。分析：注意到y＝f(x－1)可由y＝f(1－x)中用2－x代替x，y不变得到，所以两曲线关于直线x＝1对称。例2：设f(x)的定
5、义域为R，且f(1－x)＝f(x－1)，则y＝f(x)的图像关于______对称。分析：注意到y＝f(x)中x的位置特点，需把等式f(1－x)＝f(x－1)中用x＋1代x得f(－x)＝f(x)，所以y＝f(x)自身的图像关于y轴对称。2、确定x，y的位置例3：设函数y＝f(x)的定义域为R，且满足f(1－x)＝f(x+1)，则函数y＝f(x+1)的图像关于___________对称，函数y＝f(x)的图像关于__________对称。分析：对函数y＝f(x+1)而言，y＝f(1－x)为y＝f(x+1)中用-x代x而得，而
6、f(1－x)＝f(x+1)则表明y＝f(x+1)与y＝f(1－x)为同一个函数，故y＝f(x+1)的图像关于y轴对称。对函数y＝f(x)而言，应先把f(1－x)＝f(x+1)转化为f(2－x)＝f(x)，故能确定x的位置用2－x代，而y不变，故y＝f(x)的图像关于直线x=1对称。其实y＝f(x+1)可由y＝f(x)的图像向左平移1个单位而得。例4：设y＝f(x)的定义域为R，且对任意x∈R，有f(1－2x)＝f(2x)，则y＝f(2x)的图像关于__________对称；y＝f(x)的图像关于_________对称。分
7、析：对于函数y＝f(2x)，f(1－2x)为x的位置用－x代替而得，所以y＝f(2x)的图像关于直线x＝对称。对于函数y＝f(x)，先把f(1－2x)=f(2x)化为f(1－x)＝f(x)可得y＝f(x)的图像关于直线x＝对称。3、确定点对称与轴对称例5：已知函数y＝f(x)，x∈R，且对任意x总有f(x)+f(2－x)=0则y＝f(x)的图像关于______对称。分析：已知等式化为–y＝f(2－x)即在y＝f(x)中用2－x代替x，0－y代替y得函数y＝-f(1－x)，因为f(x)＝－f(1－x)，所以y=f(x)关于
8、点(1,0)成中心对称。例6：已知函数y＝f(x)，x∈R，且对任意x值总有f(x)－f(2－x)=0，则y=f(x)的图象关于______对称。分析：已知等式化为y＝f(2－x)，所以y=f(x)的图像关于直线x=1对称。三、曲线关于点或直线对称性定理的条件挖掘和运用对一些对称问题的隐含条件应善于挖掘和应用，往往起
