2013年春期荆山学校期中考试测试卷

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1、2013年春期荆山学校期中考试测试卷数学试卷一、选择题：每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．演绎推理是（　　）Ａ．特殊到一般的推理Ｂ．特殊到特殊的推理Ｃ．一般到特殊的推理Ｄ．一般到一般的推理答案：Ｃ2．，复数表示纯虚数的充要条件是（　　）Ａ．或Ｂ．Ｃ．Ｄ．或答案：Ｃ3．若在区间上有，且，则在内有（　　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．符号不确定答案：Ａ4．下列各命题中，不正确的是（　　）Ａ．若是连续的奇函数，则Ｂ．若是连续的偶函数，则Ｃ．若在上连续且恒正，则Ｄ．若在上连续，且，则在上恒正答案：Ｄ5．设，当时，（　　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ

2、．答案：Ｃ6．设复数对应的点在虚轴的右侧，则（　　）Ａ．，Ｂ．，Ｃ．，Ｄ．，答案：Ｄ7．在平面直角坐标系内，方程表示在轴、轴上的截距分别为的直线，拓展到空间，在轴、轴、轴上的截距分别为的平面方程为（　　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ａ8．已知函数的图象与轴切于点，则的极大值和极小值分别为（　　）Ａ．，Ｂ．，Ｃ．，Ｄ．，答案：Ａ9．设且不全为零，若，则（　　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ｃ10．设函数在区间上是连续函数，则（　　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ｃ11．把数列依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，…循环，分

3、别为：，，，，，，，，…，则第104个括号内各数之和为（　　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ｄ12．设在上连续，则在上的平均值是（　　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ｄ二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．若，则．答案：14．观察，，请写出一个与以上两式规律相同的等式：．答案：15．设，若对应的点在直线上，则的值是．答案：16．作变速直线运动的物体，初速度为时的速度为，则该物体停止后，运动的路程为．答案：三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题13分）在中，若，则．在立体几何中，给

4、出四面体类似性质的猜想．解：如图，，在中，．于是，把结论类比到四面体，我们猜想：在四面体中（如图2），若三个侧面，，两两互相垂直，且分别与底面所成的角为，则．18．（本小题14分）设是二次函数，方程有两个相等的实根，且．（1）求的表达式；（2）若直线把的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求的值．解：（1）设，则．由已知，得，．．又方程有两个相等的实数根，，即．故；（2）依题意，得，，整理，得，即，．19．（本小题14分）已知等腰梯形的顶点在复平面上对应的复数分别为、，且是坐标原点，．求顶点所对应的复数．解：设．由，，得，，即，，舍去．．20．（本小题1

5、4分）设，函数．（1）当时，求在上的最值；（2）求证：当时，在上为减函数．解：（1）当时，，．由，得或．当时，；当时，．在处取得极大值．又，，故在上，的极大值为，最小值为；（2）证明：．当时，，在上为减函数．当时，，恒成立，则，此时，在上为减函数．故当时，在上为减函数．21．（本小题15分）由坐标原点向曲线引切线，切于点以外的点，再由引此曲线的切线，切于以外的点．如此进行下去，得到点列．（1）求与的关系式；（2）求数列的通项公式，并证明．解：（1）．在点处的切线为．过原点，，解得．则当时，在点处的切线，过点，，整理，得，．由，得，；（2）由（1）知，，．由

6、此猜想出．下面用数学归纳法证明：①当时，已证：②假设当时，猜想成立，即，则当时，．故当时，猜想也成立．由①和②可知，数列的通项公式．