软件工程硕士辅导2009

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1、高等数学软件工程硕士辅导基本概念与练习一、求函数极限1．极限定义：设在点的某去心邻域内有定义，为常数，如果对于任意给定的正数，总存在，当，有，称在趋于时有极限，并称为在的极限。记做。2．的充要条件：3．求极限的方法（1）若在连续，则（2）“”型1）等价代换：当时2）洛必达法则：（3）“”1）利用重要极限2）化为“”型（4）有界量与无穷小乘积仍是无穷小。（5）利用泰勒公式：掌握和在x=0点的泰勒展开求极限。41二、无穷小的比较极限为零的变量。，称在时为无穷小设在时为无穷小，则如果，就说是比高阶的无穷小，记作；如果，就说是比低阶

2、的无穷小；如果，就说与同阶的无穷小；如果，就说与是等价的无穷小，记作。如果，且，则三、连续（注意不讨论间断点及其类型）1．定义：如果那么就称函数在点连续。2．主要条件：（由此可求两个参数）四、导数与微分1．导数定义：=，和412．充要条件：3．必要条件：可导必连续4．几何意义：切线斜率.切线方程5．微分：，题型求分段函数在分段点的导数使用定义，其他点使用公式五．导数计算1．初等函数求导公式（16个求导公式，5个求导法则）导数公式微分公式41（1）（2），（3）。(4)复合函数导数，称为中间变量，２．参数方程求二阶导数，３．隐

3、函数求二阶导数：F(x,y)=0,方程两边对求导，的函数看成的复合函数4.几分上限函数求导六、函数不等式的证明1．方法：利用最值，单调性和拉格朗日中值定理证不等式单调性：单调升：，当时单调降：，当时，单调升，，单调降利用单调性证不等式，证，，拉格朗日中值定理：在连续，在可微，则有落在之间。412．求导时最多到二阶七、求函数最值邻域：，极值：当或者称为极大值（极小值），极大值，极小值统称为极值，使函数取得极值的点成为极值点定理：如果在可导，并且取得极值，则导数为零的点称为驻点。判别极值一个是利用单调性，一个是利用二阶导数，定理

4、：，极小值，反之是极大值。求最值：求出不可导点及驻点，计算这些点的函数值及边界点的函数值，找这里最大的就是最大值，最小的就是最小值。如果是实际问题，并且只有一个驻点，这个驻点就是所求的最值点。八、不定积分1．原函数：在区间上，若，称为的一个原函数。2．不定积分：在区间上，的原函数的全体称为的不定积分，记为3．掌握下列基本公式①是常数)②③,④⑤⑥⑦⑧⑨⑩(11)(12)41(13)4．凑分法：掌握下列常用凑分法（1）（2）（3）（4）（5）5．换元法掌握：含时，令含时令6．分布积分法：掌握（1）（2）（3）（4）一般如果被积

5、函数是多项式与指数函数或者三角函数乘积，选多项式为指数函数或者三角函数为；如果被积函数是多项式与对数函数或者反三角函数乘积，选多项式为对数函数或者反三角函数为；九、定积分1．牛顿-莱布尼茨公式412．几何意义：曲边梯形面积3．定积分换元法4．定积分的分部积分法：6．（1）若在上连续且为偶函数，则（2）若在上连续且为奇函数，则7．周期函数的积分，8．绝对值函数的积分：去掉绝对值，令=0，找出是=0的9．面积（与为积分变量），体积（绕轴旋转的旋转体的体积）1）面积一个函数且，二个函数且不知道大小2）体积：，十、微分方程1．可分离

6、变量微分方程的通解与特解。标准型：解法：2．一阶线性微分方程通解与特解，标准型41通解：3．二阶常系数线性齐次方程通解。标准型，其中常数。解法：特征方程：，特征根通解4．二阶常系数线性非齐次方程通解。标准型，其中常数，解法：通解，其中为对应齐次方程通解，为本身的特解。，其中，十一、向量与空间解析几何（不单独出题，与多元微分学结合出题）1．向量：既有大小又有方向的量（1）表示法（2）模：，称为单位向量（3）方向：方向余弦：，，（4）与方向一致的单位向量2．直线的点向式方程：直线过点且与方向向量平行，则的方程为：413．平面的点

7、法式方程：平面过点且与法向量垂直，则的方程为：十二、多元函数微分学1．多元函数偏导数与全微分（1）二元函数在点对的偏导数：，连续时，（2）二元函数的全微分2．多元复合函数求偏导数设函数和在点分别具有对和的偏导数，而对应的函数在相应的点具有对和的连续偏导数，则复合函数在点具有对的偏导数，且若和二阶可导，具有二阶连续偏导数，则３.空间曲线切线与法平面方程设空间曲线在参数，41切向量，切线方程：法平面方程：5．空间曲面的切平面与法线方程设空间曲面：在切点，法向量切平面方程：，法线方程：设空间曲面：在切点，法向量切平面方程：，法线方

8、程：6．方向导数与梯度(1)方向导数：函数f(x,y,z)在()点沿方向e的方向导数=（2）梯度：函数f(x,y,z)在()点的梯度（3）梯度的意义：函数在一点的梯度是个向量，它的方向是函数在这点的方向导数取最大值的方向，它的模就等于方向导数的最大值7．条件极值条件极值问题可表述为：求函数