偏微分方程简介

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1、偏微分方程简介PB06001109,李玉胜1、偏微分方程的起源如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。十七世纪微积分创立之后，常微分方程理论立刻就发展起来，当时应用常微分方程，解决几何与理学中的新问题。结果是在天体理学中不仅能得到并解释早先已经知晓的那些事实，而且得到了新的发现（例如，海王星的发现就是在对微分方程分析的基础上作出的）。   在科学技术日新月异的发展过程中，人们研究的许多问题用

2、一个自变量的函数来描述已经显得不够了，不少问题有多个变量的函数来描述。比如，从物理角度来说，物理量有不同的性质，温度、密度等是用数值来描述的叫做纯量；速度、电场的引力等，不仅在数值上有不同，而且还具有方向，这些量叫做向量；物体在一点上的张力状态的描述出的量叫做张量，等等。这些量不仅和时间有关系，而且和空间坐标也有联系，这就要用多个变量的函数来表示。   应该指出，对于所有可能的物理现象用某些多个变量的函数表示，只能是理想化的，如介质的密度，实际上“在一点”的密度是不存在的。而我们把在一点的密度看作是物质的质量和体积的比当体积无限缩小的时候的极限，这就是理想化的。介质的温度也是这样。

3、这样就产生了研究某些物理现象的理想了的多个变量的函数方程，这种方程就是偏微分方程。   欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二阶方程，随后不久，法国数学家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了特殊的偏微分方程。这些著作当时没有引起多大注意。1746年，达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中，提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式。这样就由对弦振动的研究开创了偏微分方程这门学科。   和欧拉同时代的瑞士数学家丹尼尔·贝努利也研究了数学物理方面的问题，提出了解弹性系振动问题的一般方法，对偏微分方程的发展起了比较大的影响。拉格朗日也讨论了一阶偏微分方程，丰富了这

4、门学科的内容。偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪，那时候，数学物理问题的研究繁荣起来了，许多数学家都对数学物理问题的解决做出了贡献。这里应该提一提法国数学家傅立叶，他年轻的时候就是一个出色的数学学者。在从事热流动的研究中，写出了《热的解析理论》，在文章中他提出了三维空间的热方程，也就是一种偏微分方程。他的研究对偏微分方程的发展的影响是很大的，所以有人说：偏微分方程发展的序幕是由傅里叶拉开的！十九世纪偏微分方程的另一个重要发展是围绕着位势方程来进行的，这方面的代表人物格林(G..Green)是一位磨坊工出身、自学成才的英国数学家。位势方程也称拉普拉斯方程：拉普拉斯曾采用球面调和函数法

5、解这个方程，不过他得到一个错误的结论，认为这个方程当被吸引的点(x,y,z)位于物体内部时也成立。这个错误由泊松加以更正。泊松指出，如果点(x,y,z)在吸引体内部，则满足方程，其中是吸引体密度，它也是x,y,z的一个函数。拉普拉斯和泊松的方法都只适用于特殊的几何体，格林则认识到函数的重要性，并赋予它“位势”(potential)的名称，与前人不同的是，格林发展了函数的一般理论。他求解位势方程的方法与用特殊函数的级数方法相反，称为奇异点方法。他在1828年私人印刷出版的小册子《关于数学分析应用于电磁学理论的一篇论文》中，建立了许多推动位势论的进一步发展极为关键的定理与概念，其中以格

6、林公式和作为一种带奇异性的特殊位势的格林函数概念影响最为深远。至于十九世纪偏微分方程在物理中的应用使得其得到了更深刻的发展，期中最重要的一个应用是麦克斯韦1864年导出的电磁场方程是十九世纪数学物理最壮观的胜利！这也使得偏微分方程在十九世纪成为了数学物理方程有相同含义的名词！进入二十世纪之后，随着泛函分析等学科的发展，以及计算机的产生，对偏微分方程的进展产生了深远的影响，如常义函数推广到广义函数，在广义空间中对偏微分方程的解的推广等！随着计算机的发展，随即产生了偏微分方程的数值解法（numericalmethod）——有限差分方法（finitedifferencemethod）等。

7、同时随着软件的发展，在一些大型的数学软件中，如Matlab，Mathematica等中加入了偏微分方程解得工具箱，使得偏微分方程解可视化！总之，纵观偏微分方程的发展历程，我们坚信它将在更多的学科中起到很大的作用，并且随着科技的进步它的内容也将得到应有的补充！2、偏微分方程的内容偏微分方程是什么样的？它包括哪些内容？这里我们可从一个例子的研究加以介绍。   弦振动是一种机械运动，当然机械运动的基本定律是质点力学的F=ma，但是弦并不是质点，所以质点力学的定律并不适用在弦