自然数约数个数及所有约数和

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1、自然数约数的个数及所有约数的和我们知道：一个数ɑ，如果能被数b整除，b就是ɑ的约数。自然数(除了1以外)按照约数的多少，可以分成质数与合数两类：质数只有1和它自己两个约数；合数除了1和它自己以外，还有其它的约数；上面这些知识都是非常浅显的，连小学生都知道。殊不知，在这些人们耳熟能详的知识中，却隐藏着许多饶有兴味的问题。一、约数的个数一个数的约数的个数，与这个数由哪些质因数组成有关。以12为例，分解质因数得到12＝22×3。在构成12的约数时，质因数2，可以取2个(即22＝4)、1个(即21＝2)或者不取(即20＝1)，有3种方法，“3”比质因数2的幂指数“2”多1；

2、对于质因数3，可以取1个(即31＝3)或者不取(即30＝1)，有2种方法，“2”比质因数3的幂指数“1”多1。所以，总共可以组成3×2＝6个约数，分别是22×31＝4×3＝12，21×31＝2×3＝6，20×31＝1×3＝3，22×30＝4×1＝4，21×30＝2×1＝2，20×30＝1×1＝1。推广到一般：如果一个数N＝ɑibj…ck，其中，ɑ、b、…、c是N的质因数，i、j、…、k是这些质因数的幂指数。N的约数的个数等于：(i＋1)(j＋1)…(k＋1)以360为例，360＝23×32×5。质因数2、3、5的幂指数分别是3、2、1，所以360的约数有(3＋1)(

3、2＋1)(1＋1)＝24个。检验：360的约数有360、180、120、90、72、60、45、40、36、30、24、20、18、15、12、10、9、8、6、5、4、3、2、1，共24个。二、约数的总和仍以12为例，12＝22×3。根据上面所说的12的约数的构成，这些约数的总和等于：22×31＋21×31＋20×31＋22×30＋21×30＋20×30，化简后得到：(22＋21＋20)(31＋30)。所以，12的约数总和等于：(4＋2＋1)(3＋1)＝28。检验：12的约数有12、6、4、3、2、1，12＋6＋4＋3＋2＋1＝28。推广到一般，如果一个数N＝ɑi

4、bj…ck，其中ɑ、b、…、c是N的质因数，i、j、…、k是这些质因数的幂指数。N的约数总和等于：(ɑi＋ɑi-1＋ɑi-2＋…＋ɑ＋1)(bj＋bj-1＋bj-2＋…＋b＋1)…(ck＋ck-1＋ck-2＋…＋c＋1)这个结果可以化简：由恒等式(x－1)(xn-1＋xn-2＋…＋x＋1)＝xn－1推知，(x－1)(xn＋xn-1＋…＋x＋1)＝xn＋1－1，4于是，(xn＋xn-1＋…＋x＋1)＝。所以，N的约数总和等于：××…×仍以360为例。360＝23×32×5，360的约数总和是：××＝15×13×6＝1170。检验：360的约数前面已经给出，360＋18

5、0＋120＋90＋72＋60＋45＋40＋36＋30＋24＋20＋18＋15＋12＋10＋9＋8＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝1170。三、完全数一个数的所有约数中，也包括这个数自己，除此之外，其余的约数都小于这个数，称为这个数的真约数。如果一个数的真约数之和正好等于这个数，这个数就叫做完全数。如，6的真约数有3、2、1，3＋2＋1＝6，所以6就是一个完全数，而且是最小的完全数。更大的完全数有28、496、8128、……早在两千多年以前，欧几里得就曾经给出了偶完全数的计算公式：　2n-1(2n－1)式中，n是大于1的自然数，并且2n－1必须是质数。这样就产生了另一个要求

6、：式中的n不能是合数。因为：如果n是偶合数，设n＝2m，2n－1＝22m－1＝(2m＋1)(2m－1)，2n－1等于两个数的积，2n－1就是合数，这是不允许的；如果n是奇合数，设n＝pq，(p、q为奇数)，2n－1＝2pq－1＝(2p)q－1。根据前面引用过的恒等式xn－1＝(x－1)(xn-1＋xn-2＋…＋x＋1)可得　　　　2pq－1＝(2p)q－1＝(2p－1)[(2p)q-1＋(2p)q-2＋…＋(2p)＋1)]2n－1等于两个数的积，2n－1就是合数，同样是不允许的。　　所以n只能是质数。上面所说的4个完全数6、28、496、8128，就是当n分别取前4

7、个质数2、3、5、7时得到的。第1个质数是2，当n＝2时，2n－1＝22－1＝4－1＝3，3是质数，所以第1个完全数是2n-1(2n－1)＝22-1(22－1)＝2×(4－1)＝6；第2个质数是3，当n＝3时，2n－1＝23－1＝8－1＝7，7是质数，所以第2个完全数是2n-1(2n－1)＝23-1(23－1)＝4×(8－1)＝28；第3个质数是5，当n＝5时，2n－1＝25－1＝32－1＝31，31是质数，所以第3个完全数是2n-1(2n－1)＝25-1(25－1)＝16×(32－1)＝496；4第4个质数是7，当n＝7时，2n－1＝27－1＝128－1＝12