高等数学大一上学期完全复习

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1、高等数学第一章函数、极限与连续第一节、函数1.1函数分类概念分类类型分类研究函数的主要问题：初等性质：单调性、有界性、奇偶性、周期性。分析性质：极限、连续性、可微性、可积性1.2例题（仅限于对应）引例，求解例1，求。解61例2，且，求，并写出定义域。解，。例3设满足，其中均为常数，且，求的表达式。解，消掉得。小结：上述四例均强调或说体现“对应”，即自变量在抽象函数中的位置与具体函数中的位置相对应。抓住“对应”一点。函数问题基本解决。其他问题从略1.3习题1．设，则1。2．设，则（D）（A）（B）（C）（D）3．设，则（B）（A）0（B）1（C）（D）。4．是（D）61（A）有界函数（

2、B）单调函数（C）周期函数（D）偶函数1．设连续，则下列函数中为偶函数的是（D）。（A）（B）（C）（D）6．设，求。7．设若，求。第二节极限2.1内容总结1．基本型：型，2．等价代换当时，，，3．重要极限（）其他极限不存在例：4．用泰勒公式求极限5．用夹逼定理和单调有界原理求极限（主要用于数列极限问题）2.2例题基础题目一、（型）；61二、（型）；三、（等价代换）1．；2．（）3．（注意的处理。，。）4．5．求原式611．求四、幂指1．2．求3．求五、泰勒公式61（注对泰勒公式只需熟悉展开式）六、夹逼定理与单调有界1[]表示取整函数解1当时，，，故当时，，，故从而解2，表示小数部分

3、2．对于数列，已知，，证明。证：由归纳法易证，，又，即当时有下界61同时，即单减，从而收敛。设，对递推式取极限得，解得，（舍）。注：为两点递推式，写成连续型函数，若，则为单调数列，若，则不是单调的，据此可以调整证明目标。3．求____4．设，（）证明极限存在并求极限证明，假设，则，即数列单调增加，，假设，则，故由单调有界原理存在，设，则，得即=25.已知，，。（1）证明数列数列收敛；（2）求的极限值。解（1），由此可见，设，，，由知，收敛，令，；其中，61由，有（1）由，有由（1）-（2）得，解得知收敛，且极限是专题训练类题目一、重要极限与幂指型极限例1例2例3二、等价代换例1例26

4、1例3三、反问题例1，求值解原式，故。例2，求。解原式，由此，有回代原式例3已知，求常数。由原式有，即由罗比塔法则有，61由分母极限为零，有再由罗比塔法则有，由分母极限为零，有，因此例4，求常数。解当时，分子，又，故分母，又，故积分极限为零，故b=0，，从而a=1,例5，求。解当时，，故，则从而，由此。例6．在有二阶导数，且，则___，，____，_____.61，0042.3练习1.求（1）2求（）3．求（1）4.已知，求（6）5．设函数在求的某邻域内具有二阶连续导数，且。证明：存在唯一的一组实数，使得当时，是比高阶的无穷小。（3，-3,1）6．求7．设数列与满足，则下列断言正确的

5、是（A）若发散，则必发散（B）若无界，则必有界（C）若有界，则必为无穷小（D）若为无穷小，则必为无穷小（D）8．设数列满足，，（1）证明存在并求之；（0）；（2）求9.设，，，证明存在并求此极限。三、连续函数1．定义：，称在点连续。61（本质上）2、问题分类1）讨论函数的连续性2）指出函数间断点，且分类3）介值定理应用4）连续性应用（）3、例题例1讨论的连续性。解当时，考查三点；（除以上三点外，函数连续）；，为第一类间断点；是第一类间断点（可去间断）同法；，是第一类间断点。例2设，讨论的间断点及其类型。解在点，为可去间断点。在点61不存在，为第二类间断点（无穷间断点）。例3设在点连续

6、，求与的关系。解，，于点连续，则。例4．设，（1）求的间断点并判别类型（2）在下列哪个区间（1）；（2）；（3）（4）内有界（A）（1）（2）（B）（3）（4）（C）（1）（3）（D）（2）（4）解：(1)时，间断点：为第二类（无穷）间断点，为第一类（可去）间断点时，，为第一类（跳跃）间断点时。，，故是第二类（无穷）间断点。61（2）选（D）例5．函数，看到这问为何值在（1）连续；（2）为可去间断点；（3）为跳跃间断点；（4）为第二类间断点。解：，令，得或，当时，在连续，当时，，为可去间断点，当或为跳跃间断点，无第二类间断点。例6．设在连续，，，证明：（1）存在，使；（2）在上最大值

7、大于1.证明：（1）由及在连续，得61令，，，由连续函数介值定理知存在使，即；（1）由，由保号性定理知时，有，故在上最大值大于1。例7证明，恰有三个实根证令，则于上连续，而，，，由零点存在定理，，，使即方程有三个实根，又三次方程至多有三个实根，故恰有三实根。方程有根问题当与微分学结合时会很精彩。例8设在上连续，且对都使，证明在上。证：在上连续。则有界，即，使。又，使，故又使，同理，使61令，则有。例9设在上连续，且，证明，使。证设，假设，则，，相加，与矛盾