通信地址浙江省湖州市安吉县孝丰高级中学

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1、通信地址：浙江省湖州市安吉县孝丰高级中学邮编：313301联系电话：13004256122电子信箱：wangbenwang666@163.com作者简介：汪本旺（1985.10—），男，汉族，籍贯：安徽，中学一级教师，苏州大学概率论与数理统计研究生学历，主要从事数学教育与中学数学研究.现有论文《离散型随机变量均值的探究教学》发表于《中学数学月刊》2014年第1期；《在探索中前进在反思中感悟》发表于《高中数学教与学》2014年第2期；《四面体的重心、内心、旁心的向量判断法》发表于《数学通讯》2014.7教师刊；获安吉县教学论文一等奖；课题获

2、安吉县一等奖.抓住数学本质——用极限方法求弦切线汪本旺（浙江省安吉孝丰高级中学）摘要：在平面直角坐标系中，设是曲线的方程，假设直线与曲线相交于,两个不同的点，当直线通过平移使得,重合时，此时为曲线的切线.在直线平移到,重合的过程，体现了逼近的思想，即数学中极限的方法，因此，我们提出疑问：是否可以采取极限的思想去求二元二次型函数在某点处的切线方程？关键词：极限、切线方程、切点弦所在直线方程在学习函数导数时引入了切线的概念，对于形如“”型函数，我们可以利用导数法求出“”型函数在点处切线.在学习了圆锥曲线后，很多学生会有疑问：对于圆锥曲线型函数

3、，即“”二元二次型函数，无法利用导数法去求它在某点处的切线方程，那么我们是否可以利用高中阶段所学的知识去求它在某点处的切线方程？在平面直角坐标系中，设是曲线的方程，假设直线与曲线相交于,两个不同的点，当直线通过平移使得,重合时，此时为曲线的切线.在直线平移到,重合的过程，体现了逼近的思想，即数学中极限的方法，因此，我们提出疑问：是否可以采取极限的思想去求二元二次型函数在某点处的切线方程？下面我们以椭圆为例，来探讨下它在点处切线.如图，设椭圆，动直线与椭圆有且仅有一个公共点（），如何求直线的方程呢？不妨设直线的斜率为，设，为椭圆任意两个不同

4、的动点，且满足直线的斜率为.则（1）-（2）得：则令，则两边取极限，即：则所以于是直线方程：即性质1：（1）设曲线，直线与曲线有且仅有一个公共点（），则直线的方程：.（2）设曲线，直线与曲线有且仅有一个公共点（），则直线的方程：.（3）设曲线，直线与曲线有且仅有一个公共点（），则直线的方程：.（4）设曲线，直线与曲线有且仅有一个公共点（），则直线的方程：.若点为曲线外的任意一点，过点作曲线的两个切线，分别交曲线于两点，那我们如何去求直线的方程？我们仍然以椭圆为例，如图：不妨设由性质（2）知：直线的方程为直线的方程为又因为直线、都过点则有和

5、即点在直线上故直线的方程为性质2：（1）设曲线，过曲线外点作曲线的两条切线，分别交曲线于两点，则直线的方程：.（2）设曲线，过曲线外点作曲线的两条切线，分别交曲线于两点，则直线的方程：.（3）设曲线，过曲线外点作曲线的两条切线，分别交曲线于两点，则直线的方程：.（4）设曲线，过曲线外点作曲线的两条切线，分别交曲线于两点，则直线的方程：.例1（2014年浙江理21题）如图，设椭圆动直线与椭圆只有一个公共点，且点在第一象限.(1)已知直线的斜率为，用表示点的坐标；(2)若过原点的直线与直线垂直，证明：点到直线的距离的最大值为.（注：此小问在此

6、不做叙述）解由性质1（2）知①又②由①②知即点的坐标为.点评采用直线与圆锥曲线的常用方法点差法，点差法长要求直线与圆锥曲线相交，而相切是相交的极限情况，因而在此利用了极限的思想，对于高中生来说该方法比较巧妙，计算简洁，但要求学生对极限思想的理解.例2（2014年绍兴理高考适应考试21题）已知椭圆过点和，其中为椭圆的离心率（1）求椭圆的方程；（2）在直线上任取一点作以为圆心，以椭圆的长轴长为直径的圆的两条切线，设切点分别为，直线与椭圆交于两点，如图所示，求的取值范围解（1）由题意知则所以椭圆的方程为（2）设，由性质2（1）知直线的方程为则原

7、点到直线的距离所以设，联立得到由韦达定理知所以所以（令）因为所以所以对于型非二元二次的函数，在数学分析（下）中给出偏微分去求它在某点处的切线方程，那么对于它在某点处的切线方程是否也可以用极限的思想方法去解决呢？这个问题还值得笔者去研究.参考文献：[1]唐胜忠．抓住数学本质——用极限方法求渐近线[J].中学数学教学参考，2011.3（上旬）：45-46.[2]欧阳光中，姚允龙，周渊.数学分析[M].上海：复旦大学出版社,2003.