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1、柳卡趣题同文中学:钟敏教学目的:通过有趣的问题激发学生的学习兴趣,同时让学生体会数形结合的作用.看似复杂的一个实际问题,利用图象很直观地获得了解决,这必然给学生强烈的震撼,这正是我们所希望学生感悟到的数形结合的威力.情感要求:通过学生的自主探索,提示出方程和图象之间的对应关系,加强了新旧知识的联系,培养了学生的创新意识,激发了学生学习数学的兴趣.教学方法:学生操作——自主探索的方法.学生通过自己操作和思考,结合新旧知识的联系,自主探索出方程与图象之间的对应关系,以引入二元一次方程组的图象解法,同时也建立了“数”——二元
2、一次方程组与“形”——函数的图象（直线）之间的对应关系,培养了学生数形结合的意识和能力.教学过程:1.回忆旧知识,引入新课.问题:如果将方程X+Y=8利用等式的性质变形,可得到Y=8-X,你们能联想到什么?(一个一次函数)x,y看作未知数时，该式是一个二元一次方程，x,y看作变量时变形为y=8－x是一个一次函数。由函数我们不得不联想到函数图象,因为函数图象可直观地反映出Y随X变化的情况.（强调函数图象的作用，能解决哪些问题？）议一议:A,B两地相距100千米,甲.乙两人骑车同时分别从A,B两地相向而行.假设他们都保持匀
3、速行驶,则他们各自到A地的距离S(千米)都是骑车时间t(时)的一次函数.1时后,乙距离A地90千米,2时后甲距离A地30千米.问经过多长时间两人相遇?你是怎么做的?与同伴交流.解法一:对于乙,s是t的一次函数,可以设s=kt+b当t=0时,s=100;t=1时,s=90.将它们分别代入s=kt+b中,得100=0×k+bb=10090=1×k+bk=-10∴s=100-10t①同理可解得,甲的函数表达式为s=15t②联立以上两个表达式①②,求解方程组得t=4小时.即4小时两人相遇.解法二:图解法.将甲乙两人s与t之间的
4、函数图象表示在一个平面直角坐标系中.函数图象两条线之间的交点即为两函数表达式的公共解,该点的横坐标即为相遇时间.(注:此题的选取目的在于使学生体会如何使用图解法来解决一般的相遇问题,会熟练操作根据题意分析并画出一次函数图象,体会图象解法所带来的直观性与方便性,为更进一步的探讨做铺垫2.创设背景问题每天中午,某航运公司有一艘轮船从巴黎的外港——塞纳河口的勒阿佛尔开往纽约,有每天的同一时间也有该公司的一艘轮船由纽约开往勒阿佛尔,轮船在横渡大西洋途中所花时间正好是七天七夜,并且均沿同一航线航行。假设在全部航程中轮船都是匀速行
5、驶的.问今天中午从勒阿佛尔开出的一艘轮船A将会遇到几艘从纽约开来的同一公司的轮船?(这是十九世纪在一次世界科学会议期间,法国数学家柳卡向在场的数学家们提出的一个问题,它难倒了在场的所有数学家,连柳卡本人也没有彻底解决。后来有一位数学家通过下面的图解法,才使问题最终得到解决。)提出问题:你能帮柳卡解决这一趣题吗?(注:在提出此问的时候预测到大多数同学会对此有浓厚的兴趣,但又苦于无从下手.话锋一转,想解决它吗?先请看看下面与之相类似的情境.)例.某路电车,由Ａ站开往Ｂ站,每5分钟发一辆车,全程为20分钟。有一人骑车从Ｂ站到
6、Ａ站,在他出发时恰有一辆电车进站,当他到达Ａ站时又恰有一辆电车出站,问: (1)如果骑车人由Ｂ站到Ａ站共用40分钟时间,则他一共遇到多少辆迎面开来的电车? (2)若骑车人在中途共遇到对面开来的10辆电车,则他出发后多少分钟到达Ａ站? (3)若骑车人同某辆电车同时出发由Ａ站返回Ｂ站,骑车人用40分钟到达Ｂ站时也恰有一辆电车进站,问在中途有多少辆电车超过他? 分析:联系议一议中的简单相遇问题,在同一直角坐标系中画出两事物匀速运动的函数图象,若相交则为相遇.由于每辆相关车辆到B站的距离S是行车时间t的一次函数.只要知道每
7、辆车的出站和到站时间便可将他们的函数图象准确的在直角坐标系中表示出来,而骑车人的函数图象与电车函数图象(若干辆电车)的交点个数即为相遇车辆的数目.如此一来许多问题迎刃而解.l1500A站B站-25–20–15–10–50510152025303540455055606570S/km(车与B站之间的距离)t/分A站B站解:图象法画出下面的图: 由图可知:(1)若骑车人一共用40分钟走完全程(即斜线l1),可知一共遇到13辆电车。(2)骑车人从Ｂ站总共遇到12辆从对面开来的电车到达Ａ站(即斜线l2)所用的时间,恰好等于Ａ
8、站开出7辆车的时间,即35分钟。 (3)由上至下画一条斜线l3即表示骑车人由Ａ站出发40分钟后到达Ｂ站,可见中途共有3辆电车超过他。(注:值得注意的是,上述图解法,不但给出这一问题的一种简单、美妙、不用数字计算的非常规解法,更有意义的是它可作为一种模型,来解决这一类型的问题.)做一做:问题:此时你能解决柳卡趣题吗?(再次提出此问
