导数应用的题型与解题方法

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1、导数应用的题型与解题方法一、考试内容导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。二、考试要求⑴了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念。⑵熟记基本导数公式：c,x(m为有理数)的导数。掌握两个函数四则运算的求导法则会求某些简单函数的导数。⑶了解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数要极值点两侧异号），会求一些实际问题（一般指单峰函数

2、）的最大值和最小值。三、双基透视导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面:1．导数的常规问题：（1）刻画函数（比初等方法精确细微）；（2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）；（3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于次多项式的导数问题属于较难类型。2．导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。3．曲线的切线　用割线的极限位置来定义了曲线的切线．切线方程由曲线上的切点坐标确定，设为曲线上一点，过点的

3、切线方程为：4．瞬时速度用物体在一段时间运动的平均速度的极限来定义瞬时速度，5．导数的定义　对导数的定义，我们应注意以下三点：　(1)△x是自变量x在处的增量(或改变量)．　(2)导数定义中还包含了可导的概念，如果△x→0时，有极限，那么函数y=f(x)在点处可导，才能得到f(x)在点处的导数．　(3)由导数定义求导数，是求导数的基本方法，必须严格按以下三个步骤进行：　　(a)求函数的增量；　　(b)求平均变化率；　　(c)取极限，得导数。6．导数的几何意义　函数y=f(x)在点处的导数，就是曲线y=(x)在点处的切线的斜率．由此，可以利用导数求曲线的切线方

4、程．具体求法分两步：　(1)求出函数y=f(x)在点处的导数，即曲线y=f(x)在点处的切线的斜率；　(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为　特别地，如果曲线y=f(x)在点处的切线平行于y轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为7、导数与函数的单调性的关系㈠与为增函数的关系。能推出为增函数，但反之不一定。如函数在上单调递增，但，∴是为增函数的充分不必要条件。㈡时，与为增函数的关系。若将的根作为分界点，因为规定，即抠去了分界点，此时为增函数，就一定有。∴当时，是为增函数的充分必要条件。㈢与为增函数的关系。为增函数，一定可以推出，但反之

5、不一定，因为，即为或。当函数在某个区间内恒有，则为常数，函数不具有单调性。∴是为增函数的必要不充分条件。函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。㈣单调区间的求解过程，已知（1）分析的定义域；（2）求导数（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间㈤函数单调区间的合并函数单调区间的合并主要依据是函数在单

6、调递增，在单调递增，又知函数在处连续，因此在单调递增。同理减区间的合并也是如此，即相邻区间的单调性相同，且在公共点处函数连续，则二区间就可以合并为一个区间。8、已知（1）若恒成立∴为上∴对任意不等式恒成立（2）若恒成立∴在上∴对任意不等式恒成立四、热点题型分析题型一：利用导数定义求极限例1．已知f(x)在x=a处可导，且f′(a)=b，求下列极限：　　（1）；（2）题型二：利用导数几何意义求切线方程例2．．已知曲线，曲线，直线与都有相切，求直线的方程。题型三：利用导数研究函数的单调性、极值、最值。例3已知函数的切线方程为y=3x+1（Ⅰ）若函数处有极值，求的

7、表达式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数在[－3，1]上的最大值；（Ⅲ）若函数在区间[－2，1]上单调递增，求实数b的取值范围例4：已知三次函数在和时取极值，且．(1)求函数的表达式；(2)求函数的单调区间和极值；(3)若函数在区间上的值域为，试求、应满足的条件．例5：已知函数f(x)=－x3＋3x2＋ax＋b在x＝(1，f(1))处的切线与直线12x－y－1＝0平行．（1）求实数a的值；（2）求f(x)的单调递减区间；（3）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．例6：已知函数在处取得极值，　　（1）用表示；　　（2）设函数如果

8、在区间上存在极小值，求实数的取值范围.例7：已知(1