偏微分方程的解法

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1、回顾1、定解问题的边界条件2、定解问题的分类与适定性3、二阶线性偏微分方程的有关概念4、常系数线性偏微分方程的通解1方程的通解和特解一般地，一个n阶常微分方程的通解含有n常数。一个n阶偏微分方程的通解含有n个任意函数。2数学物理方程的分类考察二元二次方程：二次型的主轴定理3类似地，二阶线性偏微分方程一定可以改写为如下“形式”：4由二次型的性质可知，上述分类方法在区域上任一点总是可行的；但方程在不同的点可能属于不同的类型。5两个自变量的情形显然，弦的横振动方程和杆的纵振动方程是双曲型方程；一维扩散和传导方程是抛物型方程；二维静电场方程是椭圆型方程。（三维波动方程、扩散和传导方程以及三维

2、Poisson方程和Schrödinger方程是什么类型的方程？）6常系数线性偏微分方程7行波法d’Alembert公式行波法是以自变量的线性组合作变量代换，对方程进行求解的一种方法，它对波动方程类型的问题求解十分有效.一维无界弦自由振动（即无外力）定解问题为：89d’Alembert公式10齐次偏微分方程的求解（P172）d’Alembert公式的应用2.非齐次偏微分方程的求解该体系在外力作用下开始振动，可以看作外界持续给体系施加以冲量，体系的振动即为持续冲量效果的叠加。从这一思路出发求解问题被称为冲量原理法。1112根据以上分析，易得上述纯受迫振动的解为：13例7.5求解如下定解

3、问题：14例7.6求解如下定解问题：15求出问题的通解，然后再结合定解条件确定满足相应初始条件和边界条件的特解，仅对非常有限的问题适用，很多定解问题很难直接求出通解。更为普遍的处理办法是把泛定方程和定解条件作为整体处理，直接求出定解问题的解。161.行波法；2.分离变量法；3.幂级数解法；4.格林函数法；5.积分变换法；6.保角变换法；7.变分法；8.计算机仿真解法；9.数值计算法数学物理方程的求解17