高中数学北师大版选修2-2第1章 归纳推理知识归纳及应用

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1、www.ks5u.com归纳推理知识归纳及应用1.归纳推理定义:由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）．简而言之，归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．例如由铜、铁、铝、金、银等金属能导电归纳出“一切金属都能导电”，由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是1800，归纳出“所有三角形的内角和都是1800”等等，这些都是归纳推理．在统计学中，我们总是从所研究的全体对象中抽取一部分进行观测或试验以取得信息，从而对整体作出推断，这也是归纳.应用归纳推理可以发现新的事实，获得新的结论．

2、说明：归纳推理的思维过程大致如下：实验、观察概括、推广猜测一般性结论。2．归纳推理的一般模式：具有P，具有P，……具有P（，，…，是A类事物的对象），所以，A类事物具有P。3.归纳推理的特点:（1)归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围．(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验．因此，它不能作为数学证明的工具．(3)归纳推理是一种具有创造性的推理．通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．4.归纳推理的一般步骤：第一步：通过观察特例发现某些相似性（特

3、例的共性或一般规律）；第二步：把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题（猜想）；第三步：对所得出的一般性命题进行检验。由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对于科学的发现却是十分有用的。观察、实验，对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的说法，乃是科学研究的最基本的方法之一。物理学中的波义耳—马略特定律、化学中的门捷列夫元素周期表、天文学中开普勒行星运动定律等，也都是在实验和观察的基础上，通过归纳发现的．在一般情况下，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠；需要特别注意的是，由归纳推理所获得的结论仅仅是一种猜测，并不

4、一定可靠，其可靠性需要通过证明．一、数列问题中的归纳推理例1已知，根据的值，可推测出.分析：求出的值，发现它们都是分数，可通过分析分子、分母的特点，推测.解：∵，∴，，.根据分式特点把化为，可推测出.评注：对于分式型的数列归纳通项公式问题，归纳时可从两个角度出发：一是分别看分子、分母的变化规律，一是看分子、分母的联系，有时还需对其中的分式作适当变形.数列中的归纳推理最为常见，一般有归纳数列的通项公式、前项和（积）公式等.二、函数问题中的归纳推理例2已知，则.分析：正余弦函数的导数比较特别，求导后会改变函数名称，而且就在正余弦函数之间跳动取值，故我们猜想和呈周期性变化，可归纳前若干项，看是

5、否具有周期性，若有，问题就会迎刃而解.解：依题意，，由此可归纳出，从开始，函数每隔四个按循环出现一次，且每一个循环体中四个函数的和都等于0，所以.评注：对于项数比较多的问题，我们首先考虑的就是周期性，因为只有周期性才能较好地处理此类问题.而周期性的探求方法就是归纳法.三、不等式问题中的归纳推理例3由，可归纳出：若，则.分析：观察各不等式中的分式特点，可发现左边分式都是右边分式的分子、分母都加上同一个正数得到的，据此不难归纳出一般式.解：由，可归纳出若，则.评注：本题归纳出的是真分数的一个重要性质：若一个真分数的分子、分母都加上同一个正数，分式的值增大.若把上面的分式取倒数，则可得假分数的

6、一个相应性质：若一个假分数的分子、分母都加上同一个正数，分式的值减小.这个现象可称为“真大假小”.