由一道习题引发的一点思考

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1、由一道习题引发的一点思考——活用数轴上两点间的距离公式解题安昌镇中学王美芳摘要：数轴上两点间的距离公式是平面解析几何中最基本的公式，它可以延伸出很多相关的问题。我们需要活用数轴上两点间的距离公式解题，根据题设条件，构设适当的数轴，利用两点间的距离公式、数与形相结合，可以使一些代数问题得到直观、形象、简捷、合理的解答。关键字：最值数轴两点之间的距离平面直角坐标系在一次偶然的机会中，学生拿着一份八年级的《一元一次不等式》试卷来问下面这样一道题目：（1）请阅读下面材料:点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为

2、AB

3、.①

4、当A、B两点中有一点在原点时,不妨设点A在原点,如图1,

5、AB

6、=

7、OB

8、=

9、b

10、=

11、a-b

12、；BOAb0a图4BAObao图3OAB0ab图2O(A)B0b图1②当A、B两点都不在原点时，如图2，点A、B都在原点的右边，

13、AB

14、=

15、OB

16、–

17、OA

18、=

19、b

20、–

21、a

22、=b-a=

23、a-b

24、；③如图3，点AB都在原点的左边，

25、AB

26、=

27、OB

28、–

29、OA

30、=

31、b

32、–

33、a

34、=-b-(-a)=

35、a-b

36、；④如图4，点A、B两点在原点的两边，

37、AB

38、=

39、OA

40、+

41、OB

42、=

43、a

44、+

45、b

46、=a+(-b)=

47、a-b

48、.综上所述，数轴上A、B两点之间的距离

49、A

50、B

51、=

52、a-b

53、.（2）回答下列问题：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是；②数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是，如果

54、AB

55、=2，那么x为；③当代数式

56、x+1

57、+

58、x-2

59、取最小值时，相应的x的取值范围是.其实，这道题前半部分的阅读材料就是在论证数轴上A、B两点之间的距离

60、AB

61、=

62、a-b

63、，应用这个结论，第（2）题中的①②两小题基本上是没有问题的。但是，在做第③小题时，我想学生基本上就要犯困惑了：

64、x+1

65、+

66、x-2

67、，这是什么意思？最小值？怎么求

68、？为什么会有最小值呢？而且放在一元一次不等式中，难道会应用不等式解题？于是，鉴于学生思维的定势（考虑一元一次不等式）和对前面求数轴上两点之间的距离的理解程度，我给她讲解了两种方法：方法一：利用一元一次不等式解题①当x+1＞0，x-2＞0，即x＞2时，原式=x+1+x-2=2x-1＞3.②当x+1＜0，x-2＜0，即x＜-1时，原式=-（x+1）-（x-2）=-2x+1＞3.③当x+1＞0，x-2＜0，即-1＜x＜2时，原式=x+1-（x-2）=3.④当x+1＜0，x-2＞0，x无解。综上所述，

69、x+1

70、+

71、x-2

72、的最小值是3，此时x的

73、范围是-1＜x＜2.再考虑，当x=-1或者2时，代数式的值是3，所以完整的x的取值范围应该是-1≤x≤2.方法二：运用数轴上两点之间的距离解题

74、x+1

75、+

76、x-2

77、可以表示为

78、x-(-1)

79、+

80、x-2

81、，那么这就可以看做数轴上表示x的这个点到-1和2这两个点之间的距离之和，这个距离的最小值很明显是3，此时x的范围是-1＜x＜2.如果x不在这个范围之内，如图5，原式=AB+AC＞BC=3；如图6，原式=AC+BC＞AB=3.如果x在-1与2之间，如图7，原式=AB+BC=AC=3.同样的，再考虑端点值是满足条件的，所以x的取值范围是-1≤

82、x≤2.ABCABCABC-1x2-12xX-12图5图6图7讲解之后，学生恍然大悟，原来还可以这样做的啊！但是，这一句感叹让我感慨不已，这样一道关于最值的问题是值得我们深思的。八年级学生的知识面还不是很完全，往往他们想到的就是目前我们正在学习的东西，就像上面的这道题，学生就在想是不是、怎样用不等式解啊，思维就定势了，结果就找不到正确的解决路径。再者，在我们之前的学习中，还没有涉及过最值的问题，我们也一直在考量学生的接受程度是否适合做这样的最值问题。可以这么说，现在的八年级学生是基本上接触不到这一类求最值的题目的。那么，是不是因为这样或

83、者那样的原因，我们的学生目前就不需要学会这样的求最值的问题了呢？答案是很明确的。所以，如何活用我们目前已经掌握的知识，并且能够在遇到一些我们没有见到过的问题时能临危不乱，这是我们急需要培养学生应该产生的危机意识。所以，在学生面对数轴上求两点之间的距离的问题的同时，我也在思考:怎么样才能把这个知识点融会贯通呢？毕竟，涉及到这个知识点的题目是可以多变的，比如：解一些特殊的方程、求平面直角坐标系中两点之间的距离等等。针对以上的一些思考，我总结了几点个人的想法：一、用数轴上两点之间的距离公式解特殊的绝对值方程例1：解方程+=4（"祖冲之杯"邀请

84、赛试题）解：是x与1两点的距离，是x与5两点距离，x在数轴上的位置有3种情况：如图（1）x在1与5之间（2）x在1的左边（3）x在5的右边显然，x在1和5之间（包括1和5）原方程成立。所以，1≤x≤5。例2