数学分析续论b卷复习资料

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1、数学分析续论B卷复习资料一、单项选择题(1)设为单调数列,若存在一收敛子列,这时有............[ ]  A.;  B.不一定收敛;  C.不一定有界;  D.当且仅当预先假设了为有界数列时,才有A成立.(2)设在R上为一连续函数,则有..............................[ ]A.当为开区间时必为开区间; B.当为闭区间时必为闭区间;C.当为开区间时必为开区间; D.以上A、B、C都不一定成立.(3)设在某去心邻域内可导.这时有.....................[ ]A.若存在,则;B.若在连续,则A成立;C

2、.若存在,则;D.以上A、B、C都不一定成立.(4)设在上可积,则有..................................[ ]A.在上必定连续; B.在上至多只有有限个间断点;C.的间断点不能处处稠密;D.在上的连续点必定处处稠密.(5)设为一正项级数.这时有..................................[ ]A.若,则收敛;   B.若收敛,则;C.若收敛,则; D.以上A、B、C都不一定成立.4 二、计算题(1)试求下列极限:①;  ② .  (2)设.试求.  (3)试求由曲线,直线,以及二坐标轴所围曲边梯

3、形的面积.  (4)用条件极值方法(Lagrange乘数法)导出从固定点到直线的距离计算公式.三、证明题(1)设在上都连续.试证:若,则必存在,满足.  (2)证明在其定义域上为一严格凸函数,并导出不等式:,其中均为正数.(提示:利用詹森不等式.)4参考答案一、(1)A; (2)?; (3)B; (4)D; (5)?.二、[解](1)①;  ②(2)  .(3)略(4)略三、[证](1)只需引入辅助函数:.易知在上连续,满足,故由介值性定理(或根的存在定理),必存在,满足,即.  (2)的定义域为,在其上满足:,所以为一严格凸函数.根据詹森不等式,对

4、任何正数,恒有4最后借助函数的严格递增性,便证得不等式4

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