2012年高考数学广东卷(理科)附答案

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1、2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）【详解人】佛山市南海区石门中学黄伟亮参考公式：柱体的体积公式，其中为柱体的底面积，为柱体的高.圆锥的体积公式，其中为锥体的底面积，为锥体的高.一、选择题01.设为虚数单位，则复数（）A.B.C.D.解析：D..02.设集合，，则（）A.B.C.D.解析：C..3.（向量）若向量，，则（）A.B.C.D.解析：A..4.（函数）下列函数中，在区间上为增函数的是（）A.B.C.D.解析：A.在上是增函数.5.已知变量、满足约束条件，则的最大值为（）A.12B.11C.3D.解析：B.画出

2、可行域，可知当代表直线过点时，取到最大值.联立，解得，所以的最大值为11.6.（立体几何）某几何体的三视图如图1所示，它的体积为（）A.B.C.D.解析：C.该几何体下部分是半径为3，高为5的圆柱，体积为，上部分是半径为3，高为4的圆锥，体积为，所以体积为.7.（概率）从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是（）A.B.C.D.解析：D.两位数共有90个，其中个位数与十位数之和为奇数的两位数有45个，个位数为0的有5个，所以概率为.8.对任意两个非零的平面向量和，定义，若平面向量、满足，与的夹角，且和都在集合中，则（

3、）A.B.1C.D.解析：C.，，两式相乘，可得.因为，所以、都是正整数，于是，即，所以.而，所以，，于是.二、填空题（一）必做题（9—13题）9.（不等式）不等式的解集为__________________.解析：.的几何意义是到的距离与到0的距离的差，画出数轴，先找出临界“的解为”，然后可得解集为.10.（二项式定理）的展开式中的系数为_________.（用数字作答）解析：20.的展开式通项为，令，解得，所以的展开式中的系数为.11.（数列）已知递增的等差数列满足，，则______________.解析：.设公差为（），则有，解得，所以

4、.12.曲线在点处的切线方程为___________________.解析：.，所以切线方程为，即.13.（算法）执行如图2所示的程序框图，若输入的值为8，则输出的值为______.解析：8.第一次循环，，，；第二次循环，，，；第三次循环，，，.此时退出循环，输出的值为8.（二）选做题（14—15题）14.（坐标系与参数方程）在平面直角坐标系中，曲线和的参数方程分别为（为参数）和（为参数），则曲线与的交点坐标为________.解析：.法1：曲线的普通方程是（），曲线的普通方程是，联立解得，所以交点坐标为.法2：联立，可得，即，解得或（舍去）

5、，所以，交点坐标为.15.（几何证明选讲）如图3，圆的半径为1，、、是圆周上的三点，满足，过点作圆的切线与的延长线交于点，则__________.解析：.连接，则，，因为，所以.三、解答题16.（三角函数）（本小题满分12分）已知函数（其中）的最小正周期为.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设、，，，求的值.解析：（Ⅰ），所以.（Ⅱ），所以.，所以.因为、，所以，，所以.17.（概率统计）（本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：、、、、、.（Ⅰ）求图中的值；（Ⅱ）从成绩不低于80分的学生中随机选取2

6、人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求的数学期望.解析：（Ⅰ）由，解得.（Ⅱ）分数在、的人数分别是人、人.所以的取值为0、1、2.，，，所以的数学期望是.18.（立体几何）（本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点在线段上，平面.（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）若，，求二面角的正切值.解析：（Ⅰ）因为平面，平面，所以.又因为平面，平面，所以.而，平面，平面，所以平面.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面，而平面，所以，而为矩形，所以为正方形，于是.法1：以点为原点，、、为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.则、、、，于是，.设平面

7、的一个法向量为，则，从而，令，得.而平面的一个法向量为.所以二面角的余弦值为，于是二面角的正切值为3.法2：设与交于点，连接.因为平面，平面，平面，所以，，于是就是二面角的平面角.又因为平面，平面，所以是直角三角形.由∽可得，而，所以，，而，所以，于是，而，于是二面角的正切值为.19.设数列的前项和为，满足，，且、、成等差数列.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）证明：对一切正整数，有.解析：（Ⅰ）由，解得.（Ⅱ）由可得（），两式相减，可得，即，即，所以数列（）是一个以为首项，3为公比的等比数列.由可得，，所以，即（），当时，，也满足

8、该式子，所以数列的通项公式是.（Ⅲ）因为，所以，所以，于是.点评：上述证法实质上是证明了一个加强命题，该加强命题的思考过程如下.考虑构造一个公比为的等比数列，其前项